Aqui está a mesma publicação "De novo a Fórmula de Euler" mas agora em Latex
Já mostrámos numa publicação anterior que
${{e}^{i\,x}}=\cos
x+i\operatorname{sen}x$
Vamos agora ver que
consequências tem esta relação no cálculo de logaritmos naturais.
Seja então $x\in
\mathbb{R}$ e $x<0$.
Nesse caso podemos escrever
Nesse caso podemos escrever
$x=-\left|
\,x\, \right|=\left| \,x\, \right|\operatorname{cis}\pi =\left| \,x\,
\right|\,(\cos \pi +i\operatorname{sen}\pi )$
isto é
$x=-\left|
\,x\, \right|=\left| \,x\, \right|\operatorname{cis}\pi =\left| \,x\, \right|\,\,{{e}^{i\,\pi
}}$
Então
$\ln
x=\ln \left( \left| \,x\, \right|\,\,{{e}^{i\,\pi }} \right)=\ln \left| \,x\,
\right|+\ln \,{{e}^{i\,\pi }}=\ln \left| \,x\, \right|\,+\,\,i\,\pi $
ou seja
$\ln
x=\ln \left| \,x\, \right|\,+\,\,i\,\pi ,\,\,\,\,\,{{\forall }_{x<0}}$
Por exemplo $\ln (-3)=\ln 3+i\,\pi $.
Assim, temos
$\ln
x=\,\,\ln x\,\,\,se\,\,x>0\,\,\,\,\wedge \,\,\,\,\ln \,\left| \,x\,
\right|+i\pi \,\,\,se\,\,\,x<0$ com
$x\in \mathbb{R}\,\text{}\!\!\backslash\!\!\text{ }\,\left\{ \,0\,
\right\}$
