Dia 31 de Dezembro de 2017, 23h 45mn. No bar do Hotel Miragem entrou um elegantíssimo cavalheiro que se abeirou do balcão.
- Quarto 18 – disse.
- Com certeza, o seu nome? – perguntou o funcionário.
- King, Peter King. Queria um Martini mas agitado, não
mexido.
- Com certeza. – respondeu solícito o funcionário.
Pegou
num copo de pé alto com o recipiente em forma de parabolóide de equação $z={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ e verteu a quantidade certa de Martini,
acrescentando-lhe de seguida uma pequena esfera de raio unitário previamente
gelada e colocou o copo sobre o balcão.
- Aqui está
Sr.
O “dandi”
bebeu rapidamente o Martini, agradeceu e saiu aos zigue-zagues provavelmente na
direcção da festarola de fogo de artifício da qual se ouviam os primeiros
estrondos.
Nessa altura
o funcionário verificou que a esfera refrigerante se encontrava tangente á
superfície do copo o que impedira o folgazão de consumir a bebida entre o copo
e a superfície inferior da esfera.
Tornava-se pois imperioso que na facturação do quarto 18
aparecesse a quantidade correcta de bebida consumida. Depois de pensar um pouco
descreveu a situação por e-mail no famosíssimo site “Matemática? Nós
resolvemos.” com o pedido do cálculo do volume de Martini não consumido.
Cerca de 10
minutos depois, impaciente, voltou a enviar novo e-mail onde perguntava se
seria preciso muito tempo para obter uma resposta. Foi informado que o único
matemático disponível perto da meia noite de 31 de Dezembro usava um lápis
antigo com a tabuada e contava pelos dedos uma vez que não conseguia fazer
contas de cabeça e por esse motivo a resposta poderia demorar um pouco mais de
15mn.
Cerca de meia hora depois o funcionário
recebeu finalmente a resposta e preencheu a factura correctamente para
adicionar à conta do quarto 18.
Pergunta: que volume de bebida ficou entre o copo e a
esfera não sendo assim consumida pelo cliente?
SOLUÇÃO
Paraboloide: $z={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$
$C=(0,c)\,\,;\,\,\,\,P=({{x}_{0}},\,{{x}_{0}}^{2}\,)$
Esfera
de raio unitário.
No
ponto de tangencia P de abcissa ${{x}_{0}}$,
o gradiente da tangente comum à parábola $z={{x}^{2}}$ e à circunferência é
${z}'({{x}_{0}})=2{{x}_{0}}$
e o gradiente da recta CP
é $m(CP)=-\frac{1}{2{{x}_{0}}}$.
Sendo assim, a equação da recta CP é
$z=-\frac{1}{2{{x}_{0}}}\,x+b$
e como passa em $P=({{x}_{0}},\,{{x}_{0}}^{2}\,)$
obtemos $b={{x}_{0}}^{2}+\frac{1}{2}$ ,
portanto
Recta CP: $z=-\frac{1}{2{{x}_{0}}}\,x+{{x}_{0}}^{2}+\frac{1}{2}$
Então, a coordenada z
do ponto C (centro da circunferência) é
$c={{z}_{x=0}}={{x}_{0}}^{2}+\frac{1}{2}$ logo
$C=\left( 0,\,\,{{x}_{0}}^{2}+\frac{1}{2} \right)$
Sendo o raio da circunferência unitário:
${{x}_{0}}^{2}+{{\left(
x_{0}^{2}-x_{0}^{2}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}=1$
${{x}_{0}}^{2}=\frac{3}{4}\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{x}_{0}}=+\frac{\sqrt{3}}{2}$
$$
e a equação da circunferência fica
${{x}^{2}}+{{\left( z-\frac{5}{4}
\right)}^{2}}=1$
A equação da esfera será então
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left(
z-\frac{5}{4} \right)}^{2}}=1$
e o volume procurado é
$V=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\theta
\int\limits_{0}^{\sqrt{3}/2}{\left[ \frac{5}{4}-\sqrt{1-{{r}^{2}}}-{{r}^{2}}
\right]}}\,r\,dr=2\pi \int\limits_{0}^{\sqrt{3}/2}{\left[
\frac{5}{4}r-r\sqrt{1-{{r}^{2}}}-{{r}^{3}} \right]}\,dr=$
$=2\pi
\left[ \frac{5}{8}\,\left( {{r}^{2}} \right)_{0}^{\sqrt{3}/2}-\frac{1}{4}\left(
{{r}^{4}} \right)_{0}^{\sqrt{3}/2}+\frac{1}{3}\left( {{\sqrt{1-{{r}^{2}}}}^{3}}
\right)_{0}^{\sqrt{3}/2} \right]=$
$=2\pi \left[
\frac{5}{8}\,\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\,\frac{9}{16}+\frac{1}{3}\left(
{{\sqrt{1-\frac{3}{4}}}^{\,3}}-1 \right) \right]=\frac{18\,\pi }{25}$
