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Para que o plano e a
superfície sejam tangentes no ponto P
é necessário que tanto um como o outro passem por esse ponto. Facilmente se
verifica que o plano passa em P,
quanto à superfície é necessário impor que a sua equação seja satisfeita para $x=y=z=1$,
e obtemos uma primeira relação a impor às constantes reais a, b e c:
$a+b-c=2$
Por
outro lado, um vector perpendicular à superfície S no ponto P é o
gradiente da função
$f(x,y,z)=a{{x}^{2}}+bxy-cz-2$
assim, o vector
${{\left( \vec{\nabla }f \right)}_{P}}={{\left( 2ax+by,\,\,bx,\,\,-c
\right)}_{(1,1,1)}}=(2a+b,\,b,\,-c)$
é perpendicular à superfície em P.
Sendo
o plano $2x+y-3z=0$ tangente a S em P, um vector perpendicular ao plano será
paralelo ao vector ${{\left( \vec{\nabla }f \right)}_{P}}$. Um vector
perpendicular ao plano é bem sabido ser um vector cujas componentes são os
coeficientes de x, y e z
na equação do plano, portanto temos o vector $\vec{v}=(2,1,-3)$.
Temos
então que $(2a+b,\,b,\,-c)=k(2,1,-3)$
com $k\in \mathbb{R}$.
Obtemos
assim o sistema de 4 equações
\[a+b-c=2\wedge 2a+b=2k\wedge b=k\wedge c=3k\]
\[k/2+k-3k=2\wedge a=k/2\wedge b=k\wedge c=3k\]
\[k=-4/3,a=-2/3,b=-4/3,c=-4\]
A equação da
superfície terá que ser
$-\frac{2}{3}\,{{x}^{2}}-\frac{4}{3}\,xy+4z=2$
e o produto abc será
$a\,b\,c=-\frac{2}{3}\,\,\frac{4}{3}\,\,4\,=\,-\frac{32}{9}$
