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A fórmula de Euler (Latex)

A Fórmula de Euler   A Fórmula de Euler é uma das mais elegantes identidades da Análise Matemática. Deixamos aqui uma demonstraç...

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sábado, 1 de julho de 2017

Subespaços vectoriais


O conjunto $M=\left\{ (x,y,z,t)\in {{\mathbb{R}}^{4}}:\,\,x+y=0\,\,\wedge \,\,z-t=0 \right\}$ é subespaço vectorial de ${{\mathbb{R}}^{4}}$ em relação à adição e à multiplicação por um escalar usuais?
  
Definição
Diz-se que $M\subseteq {{\mathbb{R}}^{4}}$ é um subespaço vectorial de ${{\mathbb{R}}^{4}}$ sobre um corpo K se M é um espaço vectorial sobre K e se:

            a)     $M\ne \varnothing $

            b)     $X\in M\,\wedge \,Y\in M\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,X+Y\in M$

            c)       $a\in K\,\,\wedge \,\,\,X\in M\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,a\,X\in M$

Repare-se que

i) não é necessário verificar todas as propriedades de um espaço vectorial já que estas são herdadas de ${{\mathbb{R}}^{4}}$, 

ii)  as condições a) e b) podem reescrever-se numa só

$X\in M\,\wedge \,Y\in M\,\,\wedge \,\,a\in K\,\,\wedge \,\,b\in K\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,aX+bY\in M$


Então para que M seja subespaço não pode ser vazio, o que é verdade já que $(0,0,0,0)\in M$.

De seguida vamos verificar se para qualquer $X$  e $Y$ pertencentes ao conjunto, $X+Y$  também pertence ao conjunto e para qualquer escalar a,  $aX$ também pertence ao conjunto.

Um ponto genérico de M tem a forma  $(x,-x,y,y)$ portanto

$({{x}_{1}},-{{x}_{1}},{{y}_{1}},{{y}_{1}})$  e $({{x}_{2}},-{{x}_{2}},{{y}_{2}},{{y}_{2}})$  pertencem a M

Então

$({{x}_{1}},-{{x}_{1}},{{y}_{1}},{{y}_{1}})+({{x}_{2}},-{{x}_{2}},{{y}_{2}},{{y}_{2}})=({{x}_{1}}+{{x}_{2}},\,-({{x}_{1}}+{{x}_{2}}),\,{{y}_{1}}+{{y}_{2}},{{y}_{1}}+{{y}_{2}})$

e este vector tem a forma  $(\alpha ,\,-\alpha ,\,\beta ,\,\beta )$ logo pertence a M.
Por outro lado
$a(x,-x,y,y)=(ax,-ax,ay,ay)$

e este vector também tem a forma  $(\alpha ,\,-\alpha ,\,\beta ,\,\beta )$ logo pertence a M.


Portanto M é um subespaço vectorial.


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sexta-feira, 30 de junho de 2017

Um caso de Polícia





 Um caso de Polícia

(Enigma de Julho)


     


Amanhece no café Mayfair. O brilho âmbar dos postes misturado com o violentos flash vermelhos e azuis das viaturas da polícia começam a desaparecer com o brilho alaranjado do sol que nasce.

A detective Catarina sai do café com um pequeno copo de plástico com café fumegante numa mão e um resumo dos indícios que recolheu no seu bloco na outra.

Encosta-se ao farol do seu Range Rover e começa a avaliar as provas.

Às 5h30m da manhã o corpo sem vida do Presidente da Junta, arquitecto Crispim, foi encontrado na câmara frigorífica do café, na cave.

Cerca das 6h o médico legista determinou que a temperatura central do corpo da vítima era de 29,4ºC.

Trinta minutos mais tarde, nova avaliação dessa temperatura revelou 28,9ºC enquanto o termostato dentro da câmara frigorífica marcava 10ºC.

Catarina sabe que a lei do arrefecimento de Newton impõe que a taxa de arrefecimento de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura T do corpo no instante t e a temperatura média ambiente Tm e rapidamente garatuja no seu bloco entre alguns pingos de café a equação

$\frac{dT}{dt}=k\,(T-{{T}_{m}}),\,\,\,\,\,\,t>0$

onde k é uma constante de proporcionalidade e t é medido em horas.

Para simplificar as “coisas” e como Catarina quer investigar o “passado” usando valores positivos de t , decide fazer corresponder ${{t}_{0}}$ com as 6h da manhã e assim, por exemplo t=4 é 2h.

Depois de um golo rápido no café que esfriava rapidamente e de alguns rabiscos no bloco de notas, Catarina percebe que, com esta convenção, a constante de proporcionalidade k deve ser positiva e anota na margem para si mesma que  6h30mn são então $t=-\frac{1}{2}$ .

Entretanto o amanhecer ainda fresco abre caminho para uma manhã quente de Verão e Catarina começa a sentir o suor a humedecer-lhe as costas enquanto pergunta a si própria:

- E se o corpo foi transferido para o frigorífico com a finalidade quer de o ocultar quer de alterar as condições de temperatura que poderão ser úteis à investigação? Como é que esta hipótese pode alterar o meu modelo?

Atira o resto frio de café para uma papeleira próxima e volta a entrar no café. Junto à caixa manchada de Ketchup um termómetro indica 21ºC.

A menina da caixa preocupada com aquela polícia que olha atentamente para a parede pergunta:

- Posso ajudar?

- Sim pode – responde a detective como que saindo de um sono letárgico – A climatização do café mantém-se ligada toda à noite?


- Sim, nunca é desligada, mantem praticamente constante a temperatura 24 horas por dia.


- Obrigado, nem sabe como isso me ajuda – responde a polícia e com os olhos postos no termómetro a pergunta que lhe surge no espírito é “Então quando é que o corpo terá sido movido para o frigorífico?

Deixa para mais tarde pensar nesse assunto e anota:   

h = nº de horas que o corpo esteve no frigorífico antes das 6h

por exemplo, se h = 6  o corpo foi movido à meia noite.

Enquanto observa a azáfama dos detectives no café, Catarina percebe que para construir um modelo da variação da temperatura ambiente a que o cadáver esteve submetido tem de recorrer á função “degrau unitário”  $u(t)$ e rabisca


Agora já com a blusa manchada de suor arranca no seu Range Rover com destino ao Pau de Canela para um pequeno almoço de mais café e ovos estrelados com bacon.

O ar condicionado do estabelecimento conspira com a humidade do seu suor para lhe provocar um arrepio que a lembra da tragédia da madrugada.

Enquanto espera o pequeno almoço volta ao seu bloco de notas e revê os seus cálculos. “Bendita rede wireless, a temperatura normal de um ser humano vivo é de aproximadamente 37ºC, e até posso calcular os logaritmos que preciso” pensa ela. “Bem me dizia o velho professor de análise que um dia ia usar estas coisas diferenciais”.

Pouco depois, enquanto come os seus ovos vai cogitando - “no modelo em que o corpo é transportado para o frigorífico não tenho dados suficientes para determinar k, mas se usar o mesmo valor do modelo anterior não devo ficar longe da resposta.”

Entretém-se durante alguns minutos a fazer contas e de seguida elabora uma tabela que relaciona o tempo de arrefecimento $h$ com a hora da morte.

Empurra então para longe o prato vazio e telefona à sua colega Ana que ficara encarregue dos primeiros contactos com os funcionários do Mayfair:

- Olá Ana, já se conhece algum suspeito do caso Mayfair desta manhã?

- Sim – responde a colega – Há três suspeitos. O primeiro é a ex-mulher da vítima, Yulia, uma ucraniana, dançarina no Casino. Segundo várias testemunhas foi vista no Mayfair entre as 17 e as 18h aos gritos com a vítima.

- E quando saiu ela?

- Uma das testemunhas afirmou que ela saiu apressada pouco depois das 6h. O outro suspeito é um jogador conhecido no Casino, Alex Costa. Cerca das 22h de ontem teve uma conversa em surdina com a vítima, ninguém ouviu a conversa mas pelos gestos percebia-se que o Sr Costa estava bastante aborrecido com o presidente da junta.

- E alguém o viu sair?

- Sim, saiu de mansinho pelas 23h. O terceiro suspeito é o cozinheiro do Mayfair.

- O cozinheiro? – espantou-se Catarina.

- Exactamente, o cozinheiro. Chamam-lhe João Pequeno. A rapariga que estava na caixa ouviu o arquitecto e o João Pequeno em grande discussão sobre a maneira correcta de apresentar uns escalopes de vitela. Diz ela que o cozinheiro ofereceu a si próprio uma pausa incomum e bastante longa pelas 22h30m. Saiu furioso quando o Mayfair fechou às 2h. Parece que foi por esse mesmo motivo que a cozinha estava uma grande confusão hoje de manhã.


Um sorriso apareceu na face de Catarina que retorquiu:


- Bom trabalho Ana, acho que já sei quem devo chamar para o interrogatório.

     _______________________________________________________________________



Qual foi a estimativa da Catarina para a hora da morte do arquitecto considerando que o corpo não foi transportado do exterior para o frigorífico?


Qual foi a hora da morte estimada pela Catarina para o caso do corpo ter sido transportado para o frigorífico algum tempo depois de morrer?


Afinal quem vai a Catarina chamar para interrogatório?








quinta-feira, 29 de junho de 2017

Os dois Monges (com solução)



Os dois monges (com solução) 


Na sua demanda pelo santo Graal, o professor Desven Datudo encontra-se às portas do mundo subterrâneo.

No templo onde pernoitara o velho ancião tinha-o prevenido:


“Na porta do Hades vais encontrar dois monges, um careca outro barbudo. Um deles é o guarda da verdade, o ouro o guarda da mentira. O primeiro é incapaz de mentir, já o segundo é incapaz de dizer uma verdade. Se não identificares qual é qual serás devorado pelo Cerbero, o cão de três cabeças.”

Lá estavam eles, um monge de branco careca e outro, sentado, exibindo uma farta barba negra.
Dsven sentou-se em local discreto enquanto pensava como poderia identificar os monges.

Cerca de 30 minutos depois Dsven ouve os monges murmurarem:

- Eu sou o senhor dos ventos – dizia o monge barbudo.

Fez-se silencio por mais 10 minutos e o monge careca retorquiu:

- Se eu sou o senhor dos ventos tu és um mentiroso.

Depois de pensar um pouco Dsven tinha a certeza de que tinha identificado os monges e dirigiu-se confiante para a porta do Hades.

Qual dos dois monges é verdadeiro e qual é o mentiroso ?

                      ________________________________________________


Resposta:

Seja A a proposição    -     eu (o barbudo) sou o senhor dos ventos.

Seja B a proposição    -     tu (o barbudo) és mentiroso.

O monge barbudo afirma A e o monge careca afirma   “se não A então B” ou seja, uma implicação

$\tilde{\ }\,A\,\,\Rightarrow \,\,B$

À partida não sabemos se A é verdadeira ou falsa, podemos então construir a seguinte tabela de valores lógicos

    
$A$
$\tilde{\ }A$
$B$
$\tilde{\ }A\,\,\Rightarrow \,\,B$

V
F
V
V

V
F
F
V

F
V
V
V

F
V
F
F


  

Verifica-se que na última coluna apenas temos uma afirmação falsa (afirmação do monge careca) correspondendo a uma afirmação também falsa na primeira coluna (afirmação do monge barbudo). Esta situação não é possível uma vez que neste caso ambos os monges estão a mentir. Assim, retirando essa possibilidade, conclui-se que o monge careca está sempre a dizer uma verdade, independentemente do valor lógico da afirmação do monge barbudo, portanto o monge careca é o monge verdadeiro e o barbudo é o mentiroso.

terça-feira, 27 de junho de 2017




Grupo I



1.     Os múltiplos de 5 são números que terminam em 0 ou 5, neste caso não podem terminar em 0 já que esse algarismo não pertence ao conjunto de algarismos considerado, portanto, das 4 posições possíveis a última está necessariamente ocupada pelo algarismo 5. Para as restantes 3 posições temos ao nosso dispor 9 algarismos que podem aparecer repetidos, assim, a resposta será 

${{9}^{3}}\cdot 1={{9}^{3}}=729$        (A)


2.   Seja | o número de rapazes, então:

$\frac{\frac{1}{4}\,}{20}=\frac{1}{10}\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{1}{4}\,=2\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,=\,8$              (B)


3.   Observando o gráfico conclui-se que, se o único ponto de inflexão tem abcissa 0,  ${f}''(x)<0\,\,\,\,\,\,se\,\,\,\,\,x<0$     e      ${f}''(x)>0\,\,\,\,\,\,se\,\,\,\,\,x>0$ .  Posto isto, a única opção correcta será

${f}''(1)\,{f}''(2)>0$      (D)


4.    Depois de corrigir os erros de ortografia que tornava o problema absurdo, colocando um C na palavra recta e um P na palavra assimptota podemos começar.

Se a recta  $y=-x$ é assímptota quer de f quer de g temos

$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{x}=-1$

então

$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)g(x)}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)g(x)}{{{x}^{2}}}\,{{x}^{2}}=-1(-1)\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}=+\infty $      (A)


5.   Se   $\operatorname{tg}x\to +\infty $ temos  $x\to \frac{\pi }{2}+k\pi ,\,\,\,\,\,\,k\in \mathbb{Z}$
      
      Se   $\operatorname{tg}x\to -1$  temos   $x\to \frac{\pi }{4}+k\pi ,\,\,\,\,\,\,k\in \mathbb{Z}$

Os possíveis conjuntos A são os intervalos   $\left] \,\frac{\pi }{4}+k\pi \,\,,\,\,\frac{\pi }{2}+k\pi \, \right[,\,\,\,\,\,\,k\in \mathbb{Z}$

 O único intervalo apresentado que coincide com um destes intervalos é  $\left] \,\frac{3\pi }{4},\,\frac{3\pi }{2}\, \right[$  que se obtém se $k=1$.           (B)


6.     De novo, depois de corrigir o erro de ortografia que tornava o problema absurdo e colocando um C na palavra recta podemos começar.

        Como  ${{\operatorname{tg}}^{2}}\alpha ={{\sec }^{2}}\alpha -1\,=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }-1=4$  teremos   $\operatorname{tg}\alpha =\pm 2$  que é o declive da recta.

        A única recta apresentada com declive 2 ou $-2$  é a recta  $y=-2x$       (C)


7.   A região definida pela condição indicada está representada na figura seguinte




e a área é  $A=\frac{1}{2}\,Base\times Altura=\frac{1}{2}\,\times 2\times 1=1$               (D)


8.   Para $n\le 20$  temos ${{u}_{n}}\in \left\{ \,1,\,2,\,3,\,\,\cdots \,\,,\,20\, \right\}$     $$

      Para $n>20$  temos  ${{u}_{n}}\in \left\{ \,-1,\,1\, \right\}$

      Então,  ${{\forall }_{n\in N}}\,,\,\,{{\exists }_{L\in \mathbb{R}}}\,\,:\,\,\,\left| \,{{u}_{n}}\, \right|\,<L$   e a sucessão é limitada.             (C)



 Grupo II


1.   Como a divisão inteira de 19 por 4 tem resto 3,   ${{i}^{19}}={{i}^{3}}=-i$  e   

${{z}_{1}}=\frac{1+3i}{1+i}=\frac{\left( 1+3i \right)\left( 1-i \right)}{\left( 1+i \right)\left( 1-i \right)}=2+i$   ,      ${{z}_{2}}=-3k\cos \left( \frac{3\pi }{2} \right)-3ki\operatorname{sen}\left( \frac{3\pi }{2} \right)=3ki$

Então    $\overline{{{z}_{1}}{{z}_{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{(1-3k)}^{2}}}=\sqrt{5}$
                           $4+1-6k+9{{k}^{2}}=5$
                               $9{{k}^{2}}-6k=0$
                               $3k(3k-2)=0$

logo   $k=0\,\,\,\,\vee \,\,\,\,k=\frac{2}{3}$. Como é indicado que  $k\in {{\mathbb{R}}^{+}}$  a solução é    $k=\frac{2}{3}$.


2.  

2.1.      Se ${T}'$ é o simétrico de $T$  em relação à origem,  como  $T=(0,\,0,\,3)$ será   ${T}'=(0,\,0,\,-3)$ e a superfície esférica procurada tem centro na origem e raio 3

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9$

2.2.    O vector  $\overrightarrow{UP}=P-U$ é igual ao vector  $\overrightarrow{TO}=O-T=(0,0,-3)$

          O vector $\overrightarrow{RS}=S-R$  é igual ao vector $\overrightarrow{OT}=T-O=(0,0,3)$

          Então

$\overrightarrow{UP}\,\cdot \,\overrightarrow{RS}=0+0-9=-9$

2.3.   Para escrever a equação da recta $TQ$ precisamos de determinar o ponto $Q$ que é a intersecção do plano  $PQV$ com o eixo dos $yy$:

$x+y=2\,\,\,\,\wedge \,\,\,\,x=0\,\,\,\,\,\wedge \,\,\,\,\,z=0\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x=0\,\,\,\,\,\wedge \,\,\,\,\,y=2\,\,\,\,\wedge \,\,\,\,\,z=0$

portanto  $Q=(0,2,0)$ e a equação vectorial da recta $TQ$ é

$\vec{r}=T+k\,\overrightarrow{TQ}\,\,\,,\,\,\,\,\,\,k\in \mathbb{R}$

$(x,y,z)=(0,0,3)+k(0,2,-3)$

as equações paramétricas são

$x=0\,\,\,\,\wedge \,\,\,\,y=2k\,\,\,\,\wedge \,\,\,\,z=3-3k$

Eliminando k obtemos as equações cartesianas

$x=0\,\,\,\,\wedge \,\,\,\,\,\frac{y}{2}=k\,\,\,\,\,\wedge \,\,\,\,\,-\frac{z-3}{3}=k$

ou seja
$x=0\,\,\,\wedge \,\,\,\,3y=-2(z-3)$


2.4.    De novo corrigindo a ortografia da prova, se colocarmos um C na palavra fracção podemos então começar a resolver o problema que de outra forma não faz sentido.

Se escolhemos 3 vértices de entre 8 teremos $^{8}{{C}_{3}}=\frac{8!}{(8-3)!\,3!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5!\,3!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2}=4\cdot 7\cdot 2=56$ formas de o fazer.

O número de planos a considerar, perpendiculares ao plano $Oxy$ é 6 (as 4 faces “verticais” do prisma e os dois planos verticais que contêm as diagonais das duas faces paralelas ao plano $Oxy$). 

Cada um destes 6 planos contêm 4 vértices do prisma e temos então $^{4}{{C}_{3}}$ possibilidades de escolha dos vértices para cada plano, então

$P=6\,\,\frac{^{4}{{C}_{3}}\,}{^{8}{{C}_{3}}}=\frac{6}{56}\,\,\frac{4!}{1!\,3!}\,=\frac{3}{28}\,\,4=\frac{3}{7}$

 
3.    Mais uma vez, o que já se está a tornar cansativo, e imperioso que se coloque um C em tacto e outro em fracção. Posto isto estamos em condições de resolver o problema.

$\overline{A}$ :  o número da bola retirada é superior a 6

:  o número da bola retirada é par

Então a expressão  $P\left( \overline{A}\cup B \right)$ é a probabilidade da bola retirada da urna ter um nº superior a 6 ou ser par.

De uma urna com n bolas numeradas podemos retirar qualquer uma delas, ou seja o nº total de casos é n.

Por outro lado o nº de bolas com números superiores a 6 são $n-6$ e nestas estão incluídas as que têm número par superior a 6. A estas temos de juntar as que têm numero par inferior ou igual a 6 que são 3 (2,4 e 6). Temos assim $n-6+3=n-3$  casos favoráveis e

$P\left( \overline{A}\cup B \right)=\frac{n-3}{n}=1-\frac{3}{n}$


4.   Novamente, e para que tudo faça sentido teremos de colocar um C na palavra recta várias vezes e de seguida podemos então começar a resolver o problema.



$f(x)=9-2,5\left( {{e}^{1-0,2x}}+{{e}^{0,2x-1}} \right)\,\,\,,\,\,\,\,\,\,x\in \left[ 0,7 \right]$

ou seja

$f(x)=9-\frac{5e}{2}{{e}^{-0,2x}}-\frac{5}{2e}{{e}^{0,2x}}\,\,\,,\,\,\,\,\,\,x\in \left[ 0,7 \right]$


4.1.    A equação é

$\sqrt{{{f}^{2}}(0)+{{x}^{2}}}=2$

e

$f(0)=9-\frac{5e}{2}-\frac{5}{2e}=9-\frac{5}{2}\,\left( e+{{e}^{-1}} \right)$

então, a equação fica

${{\left( 9-\frac{5}{2}\,\left( e+{{e}^{-1}} \right) \right)}^{2}}+{{x}^{2}}=4$

$x=\sqrt{4-{{\left( 9-\frac{5}{2}\,\left( e+{{e}^{-1}} \right) \right)}^{2}}}\,\,\approx \,\,1,5329\approx 1,5$

onde se toma o valor positivo já que x representa uma distancia.


4.2.    A altura acima no nível da água do mastro tem de ser inferior ao valor máximo de $f(x)$
          A derivada de $f(x)$ é


${f}'(x)=-\frac{5}{2}\left( -\frac{1}{5}\,{{e}^{1-0,2x}}+\frac{1}{5}{{e}^{0,2x-1}}\, \right)=-\frac{1}{2}\left( {{e}^{\frac{1}{5}x-1}}-{{e}^{1-\frac{1}{5}x}} \right)$

e os pontos de estacionaridade são as soluções de

${f}'(x)=-\frac{1}{2}\left( {{e}^{\frac{1}{5}x-1}}-{{e}^{1-\frac{1}{5}x}} \right)=0$

${{e}^{\frac{1}{5}x-1}}-{{e}^{1-\frac{1}{5}x}}=0$

${{e}^{\frac{1}{5}x-1}}={{e}^{1-\frac{1}{5}x}}$

$\frac{x}{5}-1=1-\frac{x}{5}$

$x=5$

isto é, temos um ponto de estacionaridade a 5 metros da margem OP.

A segunda derivada de $f(x)$ é

${f}''(x)=-\frac{1}{10}\,{{e}^{\frac{1}{5}x-1}}-\frac{1}{10}\,{{e}^{1-\frac{1}{5}x}}\,<\,0\,\,,\,\,\,\,\,\,{{\forall }_{x\left[ 0,7 \right]}}$

e está garantido que o ponto de estacionaridade encontrado é um máximo. 

Assim a altura máxima é

$f(5)=9-\frac{5e}{2}{{e}^{-0,2\cdot 5}}-\frac{5}{2e}{{e}^{0,2\cdot 5}}=9-\frac{5e}{2}{{e}^{-1}}-\frac{5}{2e}e=9-\frac{5}{2}-\frac{5}{2}=9-5=4\,<\,6$

e conclui-se que o barco não pode passar por baixo da ponte.


5.

5.1.    A função é contínua no ponto em que $x=1$  se   $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,g(x)=g(1)=2$.

          Para que tal possa acontecer é necessário que exista o limite $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,g(x)$, isto é:

$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)$

         Temos  

$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)\underset{h>0}{\mathop{=}}\,\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,g(1+h)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( 3+\frac{\operatorname{sen}(1+h-1)}{1-1-h} \right)=3-\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\operatorname{sen}h}{h}=3-1=2$

e

$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)\underset{h>0}{\mathop{=}}\,\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,g(1-h)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-{{(1-h)}^{2}}}{1-{{e}^{1-h-1}}}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-{{(1-h)}^{2}}}{1-{{e}^{-h}}}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{h(2-h)}{1-{{e}^{-h}}}=$

\[=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-h}{\frac{1-{{e}^{-h}}}{h}}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-h}{\frac{{{e}^{-h}}-1}{-h}}=\frac{\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,(2-h)}{\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{{{e}^{-h}}-1}{-h}}=2\]


portanto    

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,g(x)=g(1)$

e a função é contínua no ponto $x=1$.


5.2.    A equação a resolver é      $3+\frac{\operatorname{sen}(x-1)}{1-x}=3\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{\operatorname{sen}(x-1)}{1-x}=0$   então, com $k\in \mathbb{Z}$

$\operatorname{sen}(x-1)=0\,\,\,\,\wedge \,\,\,\,1-x\,\ne \,0$

$x-1=k\pi \,\,\,\,\wedge \,\,\,\,\,x\ne 1$

$x=k\pi +1\,\,\,\,\wedge \,\,\,\,\,x\ne 1$

e no intervalo considerado temos apenas a solução

$k=1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=\pi +1$


5.3.     O valor da abcissa do ponto A é a solução da equação  $g(x)=0$com $x<1$ :

$\frac{1-{{x}^{2}}}{1-{{e}^{x-1}}}=0$

$1-{{x}^{2}}=0\,\,\,\,\wedge \,\,\,\,1-{{e}^{x-1}}\ne 0$

$x=\pm 1\,\,\,\,\wedge \,\,\,\,x\ne 1$

portanto $x=-1$  e   $A=(-1,0)$.

Seja  x  a abcissa do ponto P, então, a área do triangulo OAP é 

 $A=\frac{1}{2}\,\,\cdot \,\,\overline{OA}\,\,\cdot \,\,\left| g(x) \right|=\frac{1}{2}\left| g(x) \right|=5$

$\left| g(x) \right|=10$   com   $x<1$

O gráfico de $\left| g(x) \right|$  e a recta $y=10$ estão representados na figura seguinte


Usando a calculadora concluímos que a abcissa do ponto de intersecção Q  ( figura seguinte ) corresponde a $x=-3,296$.



A abcissa do ponto P  arredondada às décimas é   -3,3.

  
6.    Com as informações dadas no problema podemos esboçar o seguinte gráfico onde não conhecemos a função $f(x)$ mas sabemos que é estritamente decrescente uma vez que ${f}'(x)<0$.




Se $\overline{OP}=\overline{PQ}$  o triangulo OPQ  é isósceles e a abcissa do ponto Q é  $2a$.

A recta r terá então equação

$y-f(a)={f}'(a)\,(x-a)$

e também

$y-f(a)=\frac{0-f(a)}{2a-a}\,(x-a)$

esta segunda equação pode ainda escrever-se

$y-f(a)=-\frac{f(a)}{a}\,(x-a)$

portanto

${f}'(a)=-\frac{f(a)}{a}$    e      ${f}'(a)+\frac{f(a)}{a}=0$


Fim



segunda-feira, 26 de junho de 2017

Os dois monges (enigma)

Os dois monges


Na sua demanda pelo santo Graal, o professor Desven Datudo encontra-se às portas do mundo subterrâneo.

No templo onde pernoitara o velho ancião tinha-o prevenido:


“Na porta do Hades vais encontrar dois monges, um careca outro barbudo. Um deles é o guarda da verdade, o ouro o guarda da mentira. O primeiro é incapaz de mentir, já o segundo é incapaz de dizer uma verdade. Se não identificares qual é qual serás devorado pelo Cerbero, o cão de três cabeças.”

Lá estavam eles, um monge de branco careca e outro, sentado, exibindo uma farta barba negra.
Dsven sentou-se em local discreto enquanto pensava como poderia identificar os monges.

Cerca de 30 minutos depois Dsven ouve os monges murmurarem:

- Eu sou o senhor dos ventos – dizia o monge barbudo.

Fez-se silencio por mais 10 minutos e o monge careca retorquiu:

- Se eu sou o senhor dos ventos tu és um mentiroso.

Depois de pensar um pouco Dsven tinha a certeza de que tinha identificado os monges e dirigiu-se confiante para a porta do Hades.


Qual dos dois monges é verdadeiro e qual é o mentiroso ?

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