Resposta à pergunta recebida de Manuel Campos
Caro Manuel Campos, a sua questão merece um esclarecimento um pouco mais
detalhado que a simples resolução da equação diferencial.
Se uma equação $M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0\,$ admite $\varphi (u)$ ( com $u=u(x,y)$
) como factor integrante isso significa que a equação
$\varphi (u)M(x,y)dx+\varphi (u)N(x,y)dy=0$
é diferencial exacta, isto é, existe uma função potencial $f(x,y)$ tal que
$df=\varphi (u)M(x,y)dx+\varphi (u)N(x,y)dy$
Nesse caso, concluímos que $\varphi (u)M(x,y)=\frac{\partial f}{\partial
x}$ e $\varphi (u)N(x,y)=\frac{\partial
f}{\partial y}$.
Então, por força do teorema de Schwartz, teremos $\frac{\partial }{\partial y}\left[ \varphi
(u)M(x,y) \right]=\frac{\partial }{\partial x}\left[ \varphi (u)N(x,y) \right]$
que escrevemos $\frac{\partial \,\varphi
M}{\partial y}=\frac{\partial \,\varphi N}{\partial x}$ onde omitimos os argumentos das funções por
economia de escrita.
É esta última equação que nos vai permitir encontrar uma forma explícita
para o factor integrante.
Com efeito, temos sucessivamente
$\frac{\partial \,\varphi M}{\partial
y}=\frac{\partial \,\varphi N}{\partial x}$
$\frac{\partial \,\varphi }{\partial y}M+\varphi
\frac{\partial \,M}{\partial y}=\frac{\partial \,\varphi }{\partial x}N+\varphi
\frac{\partial \,N}{\partial x}$
e como $\varphi =\varphi (u(x,y))$ é nada mais que uma função composta, $\frac{\partial
\varphi }{\partial x}=\frac{\partial \varphi }{\partial u}\,\frac{\partial
u}{\partial x}$ e $\frac{\partial
\varphi }{\partial y}=\frac{\partial \varphi }{\partial u}\,\frac{\partial
u}{\partial y}$ portanto, chamando ${\varphi }'$ a $\frac{\partial \varphi
}{\partial u}$ a equação acima fica
${\varphi }'\frac{\partial \,u}{\partial
y}M+\varphi \frac{\partial \,M}{\partial y}={\varphi }'\frac{\partial
\,u}{\partial x}N+\varphi \frac{\partial \,N}{\partial x}$
${\varphi }'\frac{\partial \,u}{\partial
y}M-{\varphi }'\frac{\partial \,u}{\partial x}N=\varphi \frac{\partial
\,N}{\partial x}-\varphi \frac{\partial \,M}{\partial y}$
${\varphi }'\left( \frac{\partial
\,u}{\partial y}M-\frac{\partial \,u}{\partial x}N \right)=\varphi \left(
\frac{\partial \,N}{\partial x}-\frac{\partial \,M}{\partial y} \right)$
e finalmente
$\frac{{{\varphi }'}}{\varphi
}=\frac{\frac{\partial \,N}{\partial x}-\frac{\partial \,M}{\partial
y}}{\frac{\partial \,u}{\partial y}M-\frac{\partial \,u}{\partial x}N}$
Integrando em ordem a $u$ (que é a variável natural de $\varphi $) obtemos
$\int{\,\frac{{{\varphi }'}}{\varphi
}\,\,du}=\,\,\int{\,\,\frac{\frac{\partial \,N}{\partial x}-\frac{\partial
\,M}{\partial y}}{\frac{\partial \,u}{\partial y}M-\frac{\partial \,u}{\partial
x}N}\,du\,}$
$\ln \,\left| \,\varphi \,
\right|=\,\,\int{\,\,\frac{\frac{\partial \,N}{\partial x}-\frac{\partial
\,M}{\partial y}}{\frac{\partial \,u}{\partial y}M-\frac{\partial \,u}{\partial
x}N}\,du\,}$
$\varphi
=\,\,{{e}^{\,\,\int{\,\,\frac{\frac{\partial \,N}{\partial x}-\frac{\partial
\,M}{\partial y}}{\frac{\partial \,u}{\partial y}M-\frac{\partial \,u}{\partial
x}N}\,du\,}}}$
De posse deste factor integrante torna-se fácil
resolver a equação diferencial.
No caso da equação
$\underbrace{(3x{{y}^{2}}-4y)}_{M(x,y)}\,dx+\underbrace{(4x-{{x}^{2}}y)}_{N(x,y)}dy=0$
temos
$\frac{\partial M}{\partial
y}=6xy-4\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\frac{\partial N}{\partial
x}=4-2xy\,\,\,\,,\,\,\,\,u=\frac{{{y}^{3}}}{x}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\frac{\partial
u}{\partial y}=\frac{3{{y}^{2}}}{x}$
então
$\frac{\frac{\partial \,N}{\partial
x}-\frac{\partial \,M}{\partial y}}{\frac{\partial \,u}{\partial
y}M-\frac{\partial \,u}{\partial
x}N}=\frac{8xy-8}{-\frac{{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}}\,(4x-{{x}^{2}}y)-\frac{3{{y}^{2}}}{x}(3x{{y}^{2}}-4y)}=-\frac{x}{{{y}^{3}}}=-\frac{1}{u}$
e o factor integrante é
$\varphi ={{e}^{-\int{\frac{du}{u}}}}=\frac{1}{u}=\frac{x}{{{y}^{3}}}$
Sendo assim, a equação
$\frac{x}{{{y}^{3}}}(3x{{y}^{2}}-4y)dx+\frac{x}{{{y}^{3}}}(4x-{{x}^{2}}y)dy=0$ é diferencial exacta.
e existe a função potencial $f(x,y)$ tal que
$f=\int{\,\,\frac{x}{{{y}^{3}}}(3x{{y}^{2}}-4y)\,dx}=\frac{{{x}^{3}}y-2{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}+A(y)$
e simultaneamente
$f=\,\,\int{\,\,\frac{x}{{{y}^{3}}}(4x-{{x}^{2}}y)dy}=\frac{{{x}^{3}}y-2{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}+B(x)$
onde $A(y)$ e $B(x)$ são funções arbitrárias exclusivamente de $x$
e de $y$.
Conclui-se assim que $A(y)=B(x)=0$ e a função potencial é
$f(x,y)=\frac{{{x}^{3}}y-2{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}$
sendo a solução geral da equação
$\frac{{{x}^{3}}y-2{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}=C$ ou ${{x}^{3}}y-2{{x}^{2}}=C\,{{y}^{2}}$
