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sábado, 15 de julho de 2017






Como resolver equações de grau inferior ou igual a 2


1.   Equações de grau 1

Chama-se equação de grau 1, ou equação de primeiro grau ou equação linear se esta tem a forma

${{P}_{1}}(x)=0$

onde ${{P}_{1}}(x)$é um polinómio de grau 1.

Uma equação deste tipo resolve-se utilizando os seguintes três princípios de equivalência

          a)     Se numa equação substituirmos um dos seus membros por uma expressão equivalente                     obtemos uma equação semelhante à primeira.

EXEMPLO 1.1:   Seja a equação  $x=2+3$. Como $2+3=5$  se substituirmos na equação original $2+3$ por 5 obtemos uma equação equivalente que é:  $x=5$.

EXEMPLO 1.2:   Seja a equação $x+2x=6$. Como  $x+2x=3x$, a equação  $3x=6$ é equivalente à equação original.

b)     Se numa equação somarmos em ambos os membros a mesma constante real obtemos           uma equação semelhante à primeira.

EXEMPLO 2.1:    Seja a equação  $x-3=2$.  A equação   $x-3+3=2+3$  é equivalente à primeira, e usando agora o princípio de equivalência 1 teremos  que $x=5$   é equivalente à primeira equação.

c)     Se numa equação multiplicarmos ou dividirmos ambos os seus membros por uma                 mesma constante real não nula obtemos uma equação equivalente à primeira.

EXEMPLO 3.1:   Seja a equação   $3x=4$, então  $\frac{1}{3}\,\times \,3x=\frac{1}{3}\times 4$  e  $x=\frac{4}{3}$.

É usual, pelo menos no ensino em Portugal, não apresentar estes princípios de equivalência entre equações e memorizar uma série de regras para a resolução de equações que os estudantes aplicam sem ter a noção do que estão a fazer, regras do tipo  “se deste lado está a somar passa para o outro lado a subtrair”. Este tipo de mecanização sem se saber o como e o porquê é na nossa opinião a pior forma possível de apresentar o assunto ao estudante principiante.

De facto não há “coisas” a passar de um lado para o outro numa equação, há tão somente a aplicação dos três princípios de equivalência apresentados acima.

Exercício:    Resolva a equação    $\frac{x+1}{3}-2=2x+1$

Comecemos por somar em ambos os membros $2$, fica então

$\frac{x+1}{3}-2=2x+1\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{x+1}{3}-2+2=2x+1+2\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{x+1}{3}=2x+3$

Podemos agora multiplicar ambos os membros por 3 e teremos

$3\,\,\,\frac{x+1}{3}=3(2x+3)\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,x+1=6x+9$

Agora podemos subtrair $x$ em ambos os membros:

$x+1-x=6x+9-x\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,x-x+1=6x-x+9\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,1=5x+9$

Subtraindo agora 9 em ambos os membros e de seguida multiplicando ambos os membros por $\frac{1}{5}$  temos

$1=5x+9\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,1-9=5x+9-9\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,-8=5x\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{1}{5}\,(-8)=\frac{1}{5}\,5x\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,-\frac{8}{5}=x$

e a equação está resolvida.

NOTA:  repare-se no seguinte:

            na equação   $x+9=3$  se subtrairmos 9 em ambos os membros fica

$x=3\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,x+9-9=3-9\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x=3\,\,$

            daí a tal confusão do “passa para aqui e passa para ali trocando o sinal” pois aparentemente
o 9 passou do primeiro para o segundo membro onde apareceu $-9$, no entanto o estudante    deve ter bem presente que não há de facto “coisas” a passar de uns lados para os outros, há apenas os três princípios de equivalência apresentados.



Um erro frequente quando não se aplicam os princípios de equivalência e apenas se tem em conta a regra do “passa para aqui – passa para ali” é o seguinte:

$2x=3$   como o 2 tem sinal + passa para o outro lado trocando o sinal e obtém-se
$x=3-2=1$  que é, evidentemente, um disparate.



2.       Equação de grau 2

Chama-se equação de grau 2, ou equação do segundo grau se esta tem a forma

${{P}_{2}}(x)=0$

onde ${{P}_{2}}(x)$é um polinómio de grau 2.

O caso da equação do segundo grau é também paradigmático da forma como actualmente se apresenta este assunto ao estudante principiante. Não se explica, apenas se diz qualquer coisa do tipo:    quando vires “isto” (uma equação de segundo grau)  fazes “assim” (fórmula resolvente) e não perguntes como nem porquê, limita-te a seguir a receita.

Esta forma de abordar a questão é a melhor forma de tornar o estudante desinteressado e parece ser o objectivo do ensino da matemática nos últimos anos.

Torna-se imperioso inverter este estado da arte e voltar a chamar os estudantes para o prazer se “aprender”.

Vamos então “ver” porque é que as “coisas” são como são. É claro que a explicação neste caso torna-se mais extensa que apenas “dar uma ordem”, tal como não é possível simplificar por exemplo as corridas de cavalos tirando os cavalos, também não é possível simplificar a matemática tirando-lhe a matemática.

Pois bem, a resolução de uma equação do 2º grau do tipo

$a{{x}^{2}}+bx+c=0,\,\,\,\,\,a\ne 0$

tem por base os bem conhecidos casos:    quadrado de uma soma e soma de quadrados.

Quadrado de uma soma   ${{(a\pm b)}^{2}}={{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}$

Diferença de quadrados   ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=(a-b)(a+b)$

Vamos então ver passo a passo como resolver a equação $a{{x}^{2}}+bx+c=0,\,\,\,\,\,a\ne 0$

Comecemos por pôr em evidencia a constante $a\ne 0$:
  
$a\left( {{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right)=0$

como a não é zero terá de ser

${{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

agora vamos completar o quadrado perfeito  ${{x}^{2}}+\frac{b}{a}\,x\,+\,$ .

Se temos em geral

${{x}^{2}}\pm Mx+$  (coeficiente de ${{x}^{2}}$ é 1)

o termo a acrescentar é sempre  ${{\left( \frac{M}{2} \right)}^{2}}$, no nosso caso o termo a acrescentar será  ${{\left( \frac{1}{2}\,\frac{b}{a} \right)}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}}{4{{a}^{2}}}$, então

${{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+\underbrace{\frac{{{b}^{2}}}{4{{a}^{2}}}-\frac{{{b}^{2}}}{4{{a}^{2}}}}_{=0}+\frac{c}{a}=0$

${{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}-\left( \frac{{{b}^{2}}}{4{{a}^{2}}}-\frac{c}{a} \right)=0$

${{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}-\left( \frac{{{b}^{2}}}{4{{a}^{2}}}-\frac{4ac}{4{{a}^{2}}} \right)=0$

${{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4{{a}^{2}}}=0$

${{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}-{{\sqrt{\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4{{a}^{2}}}}}^{\,\,2}}=0$

${{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a} \right)}^{2}}=0$

e nesta altura temos uma diferença de quadrados, portanto podemos escrever
  
$\left( x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a} \right)\left( x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a} \right)=0$

e da lei do anulamento do produto temos

$x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}=0\,\,\,\,\,\,\,\vee \,\,\,\,\,\,\,x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}=0$

ou seja

$x=\frac{-b+\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}\,\,\,\,\,\,\,\vee \,\,\,\,\,\,\,\,x=\frac{-b+\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$

que se abrevia para

$x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}\,$

que é a conhecida fórmula resolvente.

Como se pode verificar não há qualquer necessidade de utilizar esta fórmula, ela apenas serve para atalhar os cálculos que não são assim tão complicados.

EXEMPLO:          resolver a equação     $2{{x}^{2}}-x-1=0$.

$2\left( {{x}^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} \right)=0$

${{x}^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=0$

para completar o quadrado perfeito devemos acrescentar  ${{\left( \frac{1}{2}\,\,\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{16}$ e fica

${{x}^{2}}-\frac{1}{2}x+\underbrace{\frac{1}{16}-\frac{1}{16}}_{=0}-\frac{1}{2}=0$

${{\left( x-\frac{1}{4} \right)}^{2}}-\frac{9}{16}=0$

${{\left( x-\frac{1}{4} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}=0$

e temos assim uma diferença de quadrados, portanto

$\left( x-\frac{1}{4}-\frac{3}{4} \right)\left( x-\frac{1}{4}+\frac{3}{4} \right)=0$

\[x-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vee \,\,\,\,\,\,\,\,x-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=0\]

\[x-1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vee \,\,\,\,\,\,\,\,x+\frac{1}{2}=0\]

\[x=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vee \,\,\,\,\,\,\,\,x=-\frac{1}{2}\]

que são as duas soluções da equação.







quarta-feira, 12 de julho de 2017



 

Um caso de Polícia

 Adaptação de Tom LoFaro






Amanhece no café Mayfair. O brilho âmbar dos postes misturado com o violentos flash vermelhos e azuis das viaturas da polícia começam a desaparecer com o brilho alaranjado do sol que nasce.

A detective Catarina sai do café com um pequeno copo de plástico com café fumegante numa mão e um resumo dos indícios que recolheu no seu bloco na outra.

Encosta-se ao farol do seu Range Rover e começa a avaliar as provas.

Às 5h30m da manhã o corpo sem vida do Presidente da Junta, arquitecto Crispim, foi encontrado na câmara frigorífica do café, na cave.

Cerca das 6h o médico legista determinou que a temperatura central do corpo da vítima era de 29,4ºC.

Trinta minutos mais tarde, nova avaliação dessa temperatura revelou 28,9ºC enquanto o termostato dentro da câmara frigorífica marcava 10ºC.

Catarina sabe que a lei do arrefecimento de Newton impõe que a taxa de arrefecimento de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura T do corpo no instante t e a temperatura média ambiente Tm e rapidamente garatuja no seu bloco entre alguns pingos de café a equação

$\frac{dT}{dt}=k\,(T-{{T}_{m}}),\,\,\,\,\,\,t>0$

onde k é uma constante de proporcionalidade e t é medido em horas.

Para simplificar as “coisas” e como Catarina quer investigar o “passado” usando valores positivos de t , decide fazer corresponder ${{t}_{0}}$ com as 6h da manhã e assim, por exemplo t=4 é 2h.

Depois de um golo rápido no café que esfriava rapidamente e de alguns rabiscos no bloco de notas, Catarina percebe que, com esta convenção, a constante de proporcionalidade k deve ser positiva e anota na margem para si mesma que  6h30mn são então $t=-\frac{1}{2}$ .

Entretanto o amanhecer ainda fresco abre caminho para uma manhã quente de Verão e Catarina começa a sentir o suor a humedecer-lhe as costas enquanto pergunta a si própria:

- E se o corpo foi transferido para o frigorífico com a finalidade quer de o ocultar quer de alterar as condições de temperatura que poderão ser úteis à investigação? Como é que esta hipótese pode alterar o meu modelo?

Atira o resto frio de café para uma papeleira próxima e volta a entrar no café. Junto à caixa manchada de Ketchup um termómetro indica 21ºC.

A menina da caixa preocupada com aquela polícia que olha atentamente para a parede pergunta:

- Posso ajudar?

- Sim pode – responde a detective como que saindo de um sono letárgico – A climatização do café mantém-se ligada toda à noite?

- Sim, nunca é desligada, mantem praticamente constante a temperatura 24 horas por dia.

- Obrigado, nem sabe como isso me ajuda – responde a polícia e com os olhos postos no termómetro a pergunta que lhe surge no espírito é “Então quando é que o corpo terá sido movido para o frigorífico?

Deixa para mais tarde pensar nesse assunto e anota:   

h = nº de horas que o corpo esteve no frigorífico antes das 6h

por exemplo, se h = 6  o corpo foi movido à meia noite.

Enquanto observa a azáfama dos detectives no café, Catarina percebe que para construir um modelo da variação da temperatura ambiente a que o cadáver esteve submetido tem de recorrer á função “degrau unitário”  $u(t)$ e rabisca


Agora já com a blusa manchada de suor arranca no seu Range Rover com destino ao Pau de Canela para um pequeno almoço de mais café e ovos estrelados com bacon.

O ar condicionado do estabelecimento conspira com a humidade do seu suor para lhe provocar um arrepio que a lembra da tragédia da madrugada.

Enquanto espera o pequeno almoço volta ao seu bloco de notas e revê os seus cálculos. “Bendita rede wireless, a temperatura normal de um ser humano vivo é de aproximadamente 37ºC, e até posso calcular os logaritmos que preciso” pensa ela. “Bem me dizia o velho professor de análise que um dia ia usar estas coisas diferenciais”.

Pouco depois, enquanto come os seus ovos vai cogitando - “no modelo em que o corpo é transportado para o frigorífico não tenho dados suficientes para determinar k, mas se usar o mesmo valor do modelo anterior não devo ficar longe da resposta.”

Entretém-se durante alguns minutos a fazer contas e de seguida elabora uma tabela que relaciona o tempo de arrefecimento $h$ com a hora da morte.

Empurra então para longe o prato vazio e telefona à sua colega Ana que ficara encarregue dos primeiros contactos com os funcionários do Mayfair:

- Olá Ana, já se conhece algum suspeito do caso Mayfair desta manhã?

- Sim – responde a colega – Há três suspeitos. O primeiro é a ex-mulher da vítima, Yulia, uma ucraniana, dançarina no Casino. Segundo várias testemunhas foi vista no Mayfair entre as 17 e as 18h aos gritos com a vítima.

- E quando saiu ela?

- Uma das testemunhas afirmou que ela saiu apressada pouco depois das 6h. O outro suspeito é um jogador conhecido no Casino, Alex Costa. Cerca das 22h de ontem teve uma conversa em surdina com a vítima, ninguém ouviu a conversa mas pelos gestos percebia-se que o Sr Costa estava bastante aborrecido com o presidente da junta.

- E alguém o viu sair?

- Sim, saiu de mansinho pelas 23h. O terceiro suspeito é o cozinheiro do Mayfair.

- O cozinheiro? – espantou-se Catarina.

- Exactamente, o cozinheiro. Chamam-lhe João Pequeno. A rapariga que estava na caixa ouviu o arquitecto e o João Pequeno em grande discussão sobre a maneira correcta de apresentar uns escalopes de vitela. Diz ela que o cozinheiro ofereceu a si próprio uma pausa incomum e bastante longa pelas 22h30m. Saiu furioso quando o Mayfair fechou às 2h. Parece que foi por esse mesmo motivo que a cozinha estava uma grande confusão hoje de manhã.

Um sorriso apareceu na face de Catarina que retorquiu:

- Bom trabalho Ana, acho que já sei quem devo chamar para o interrogatório.

     _______________________________________________________________________


Qual foi a estimativa da Catarina para a hora da morte do arquitecto considerando que o corpo não foi transportado do exterior para o frigorífico?

Qual foi a hora da morte estimada pela Catarina para o caso do corpo ter sido transportado para o frigorífico algum tempo depois de morrer?

Afinal quem vai a Catarina chamar para interrogatório?




SOLUÇÃO



Tentemos seguir passo a passo o que a Catarina fez.
Primeiro temos a seguinte correspondência

Hora do dia
7h
6h
5h
4h
3h
2h
1h
0h
23h
22h
21h
t
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9





1º  Se o corpo não foi movido

Nesse caso a temperatura ${{T}_{m}}=10{}^\text{o}\,F$ é uma constante e a equação diferencial fica

$\frac{dT}{dt}=k\,(T-{{T}_{m}}),\,\,\,\,\,\,t>0$

${T}'-kT=-10k$

que é uma equação linear de primeira ordem com factor integrante

$\lambda (t)={{e}^{-k\int{dt}}}={{e}^{-kt}}$

e solução

$T\,{{e}^{-kt}}=\int{-10k\,{{e}^{-kt}}dt=10{{e}^{-kt}}+{{C}_{1}},\,\,\,\,\,\,\,\,{{C}_{1}}\in \mathbb{R}}$

$T(t)=10+{{C}_{1}}{{e}^{kt}}$

 Como às 6h ( $t=0$ )  a temperatura do corpo era 29,4ºC temos

$29,4=10+{{C}_{1}}{{e}^{k\cdot 0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,{{C}_{1}}=19,4$
e
$T(t)=10+19,4\,{{e}^{kt}}$

Por outro lado, às 6h 30m ( $t=-1/2$ ) a temperatura do corpo era de 28,9ºC, portanto


$28,9=10+19,4\,{{e}^{-k/2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{{e}^{-k/2}}=\frac{18,9}{19,4}$

$\,\,\,\,k=-2\ln \frac{18,9}{19,4}\approx 0,05$

então

$T(t)=10+19,4\,{{e}^{0,05\,\,t}}$


e portanto o corpo começou a arrefecer quando t é tal que  $T(t)=37{}^\text{o}C$

$37=10+19,4\,{{e}^{0,12\,\,t}}$

${{e}^{0,05\,\,t}}=\frac{27}{19,4}\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{20}\,t=\ln \frac{27}{19,4}\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,t\approx 6,61$

ou seja, a hora da morte teria sido cerca das 23h 37 m.



2º  Se o corpo foi transportado para o frigorífico depois de morto

A equação diferencial passa a ser

      $\frac{dT}{dt}=k\,(T-{{T}_{m}}(t))$    com     ${{T}_{m}}(t)=10+21\,u(t-h)$

isto é

$\frac{dT}{dt}=k\,\left[ T-10-21\,u(t-h) \right],\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k=0,12$

onde a função degrau unitário é        $u(t-h)=0\,\,\,\,\,se\,\,\,\,\,t<h$
                                                                 $u(t-h)=1\,\,\,\,\,se\,\,\,\,\,t>h$

Temos então dois períodos, um depois do corpo ter sido movido para o frigorífico, outro antes de ser movido para o frigorífico.

A)    Depois de ser movido para o frigorífico

Neste período é ${{T}_{m}}=10{}^\text{o}C$ e a equação diferencial é idêntica à do caso anterior

${{{T}'}_{1}}-k{{T}_{1}}=-10k$

com solução geral

${{T}_{1}}(t)=10+{{C}_{1}}{{e}^{kt}}=10+19,4\,{{e}^{0,05\,t}}$

Seja ${{T}_{h}}$ a temperatura do corpo no instante $t=h$ (instante em que o corpo foi movido) temos então

${{T}_{h}}=10+19,4\,{{e}^{0,05\,h}}$

B)    Antes de ser movido para o frigorífico

Neste período é   ${{T}_{m}}=21{}^\text{o}C$ portanto a equação diferencial é

${{{T}'}_{2}}-k{{T}_{2}}=-21k$

que admite também factor integrante  ${{e}^{-k\,t}}$ e tem solução

${{T}_{2}}(t)=21+{{C}_{2}}\,{{e}^{k\,t}}=21+{{C}_{2}}\,{{e}^{0,05\,t}}$

Como, se $t=h$  a temperatura do corpo é  ${{T}_{h}}=10+19,4\,{{e}^{0,12\,h}}$ fica

$10+19,4\,{{e}^{0,05\,h}}=21+{{C}_{2}}\,{{e}^{0,05\,h}}$

$19,4\,{{e}^{0,05\,h}}-{{C}_{2}}\,{{e}^{0,05\,h}}=11$

${{C}_{2}}=19,4-11\,{{e}^{-0,05\,h}}\,$

e portanto

${{T}_{2}}(t)=21+\left( 19,4-11\,{{e}^{-0,05\,h}}\, \right)\,{{e}^{0,05\,t}}$

 Na hora da morte $T=37{}^\text{o}C$ então, se for  ${{t}_{m}}$ o instante em que o arquitecto morreu

$37=21+\left( 19,4-11\,{{e}^{-0,05\,h}}\, \right)\,{{e}^{0,05\,{{t}_{m}}}}$

$16=\left( 19,4-11\,{{e}^{-0,05\,h}}\, \right)\,{{e}^{0,05\,{{t}_{m}}}}$

$\frac{16}{19,4-11\,{{e}^{-0,05\,h}}}\,={{e}^{0,05\,{{t}_{m}}}}$

${{t}_{m}}=-20\ln \frac{19,4-11\,{{e}^{-0,05\,h}}}{16}$


Com estes dados podemos elaborar a seguinte tabela



$h$
${{t}_{m}}$
Hora a que o corpo foi removido
 Hora da morte
12
3.602
18h
2h
24m
11
4.071
19h
1h
56m
10
4.575
20h
1h
25m
9
5.120
21h
0h
53m
8
5.710
22h
0h
17m
7
6.348
23h
23h
39m
6
7.043
0h
22h
57m
5
7.799
1h
22h
12m
4
8.627
2h
21h
22m
3
9.536
3h
20h
28m
2
10.538
4h
19h
28m
1
11.649
5h
18h
21m
0
12.887
6h
17h
07m


É assumido que o corpo foi transportado para a câmara frigorífica depois de ter sido morto. Sendo assim, as 6 primeiras linhas não podem ser consideradas. No que diz rito às restantes linhas podemos elaborar o seguinte cronograma:





As estrelas vermelhas correspondem à hora calculada da transferência do corpo para a camara frigorífica, as estrelas azuis no mesmo nível correspondem à hora da morte.
Nem o Sr Costa nem a Sra Yulia ao que se sabe, estavam presentes no Mayfair simultaneamente à hora da morte e à hora da transferência.

O período de permanência do cozinheiro é indicado a partir do momento em que sabemos ofereceu a si próprio uma longa pausa, e essa pausa poderá corresponder quer ao momento da morte do arquitecto (22h57m) quer ao momento em que o corpo foi movido (meia noite). Podemos então, com base na informação disponível concluir que o mais provável assassino será o cozinheiro e esse será o primeiro suspeito a ser chamado para interrogatório pela Catarina.


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