Resposta à questão colocada pelo Domingos Consciência
Trata-se de uma equação diferencial ordinária
que pode ser encarada de duas formas distintas:
1.
Pode escrever-se ${y}'-ky=-\frac{k}{M}{{y}^{2}}$ equação de Bernouli
2.
Pode escrever-se $\frac{dy}{ky-\frac{k}{M}{{y}^{2}}}=dx$ equação de variáveis separadas
Vamos resolvê-la como equação de Bernouli.
Comecemos por verificar que a solução trivial
da equação é $y(x)=0$.
Para encontrarmos as soluções não triviais
começamos por dividir a equação por ${{y}^{2}}$ (que não é zero):
$\frac{{{y}'}}{{{y}^{2}}}-k{{y}^{-1}}=-\frac{k}{M}$
e de seguida faz-se
a substituição $z={{y}^{-1}}$.
Como ${z}'=-{{y}^{-2}}\,{y}'$ ou seja
$\frac{{{y}'}}{{{y}^{2}}}=-{z}'$ a equação transforma-se em
$-{z}'-kz=-\frac{k}{M}$
ou
${z}'+kz=\frac{k}{M}$
que é uma equação
linear de primeira ordem ( tem a forma
${z}'+P(x)\,z=Q(x)$ ).
Esta equação é bem
conhecida e é sabido ( faremos a demonstração num outro post ) que admite
factor integrante função exclusivamente de $x$ dado por
$\lambda
(x)={{e}^{\int{P(x)\,dx}}}={{e}^{\int{k\,dx}}}={{e}^{kx}}$
e a sua solução é a
função $z(x)$ definida implicitamente pela equação $z(x)\,\lambda (x)=\int{\,Q(x)\,\lambda
(x)\,dx}$ que neste caso é
$z\,{{e}^{kx}}\,=\,\,\int{\,\frac{k}{M}\,{{e}^{kx}}\,dx}$
$z\,{{e}^{kx}}\,=\,\frac{1}{M}\,\int{\,k\,{{e}^{kx}}\,dx}$
$z\,{{e}^{kx}}\,=\,\frac{{{e}^{kx}}}{M}+C\,\,,\,\,\,\,\,\,C\in
\mathbb{R}$
$z\,(x)\,=\,\frac{1}{M}+C\,{{e}^{-kx}}\,\,,\,\,\,\,\,\,C\in
\mathbb{R}$
Voltando agora à
variável inicial $y=\frac{1}{z}$ fica
$\frac{1}{y}\,=\,\frac{1}{M}+C\,{{e}^{-kx}}\,\,,\,\,\,\,\,\,C\in
\mathbb{R}$
$y=\frac{1}{\frac{1}{M}+C\,{{e}^{-kx}}}\,\,,\,\,\,\,C\in
\mathbb{R}$
$y(x)=\frac{M}{1+C{{e}^{-kx}}\,}\,\,,\,\,\,\,C\in
\mathbb{R}\,\,\,\,\,$
onde $C$, constante
arbitrária é $C\times M$ que também é
arbitrária.
Tendo agora em
conta que $y(0)={{y}_{0}}$ fica:
${{y}_{0}}=\frac{M}{1+C\,}\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow
\,\,\,\,\,C=\frac{M}{{{y}_{0}}}-1$
e a solução
particular procurada será
$y(x)=\frac{M}{1+\left( \frac{M}{{{y}_{0}}}-1
\right){{e}^{-kx}}\,}\,$
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