Derivada de ordem n e raízes de Polinómio do 5º grau
(Resposta à questão do Hélio Lima)
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Caro Hélio Lima, não conheço essa
estratégia de formulação de um problema
equivalente, de qualquer forma vamos obter as soluções que se quer.
(a)
Comecemos por decompor esta fracção racional
em fracções simples
$f(x)=\frac{1}{{{x}^{3}}-x}=\frac{1}{x(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}=-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\frac{1}{x+1}$
Agora basta derivar cada uma
das parcelas uma vez que a derivada de uma soma é a soma das derivadas
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$n=0$
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${{f}_{1}}^{(n)}=-\frac{1}{x}$
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${{f}_{2}}^{(n)}=\frac{1}{x-1}$
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${{f}_{3}}^{(n)}=\frac{1}{x+1}$
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$n=1$
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$\frac{1}{{{x}^{2}}}$
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$-\frac{1}{{{(x-1)}^{2}}}$
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$-\frac{1}{{{(x-1)}^{2}}}$
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$n=2$
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$-\frac{2}{{{x}^{3}}}$
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$-\frac{\left( -2 \right)}{{{(x-1)}^{3}}}$
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$-\frac{\left( -2 \right)}{{{(x-1)}^{3}}}$
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$n=3$
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$\frac{\left( -2 \right)\cdot \left( -3 \right)}{{{x}^{4}}}$
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$-\frac{\left( -2 \right)\left( -3
\right)}{{{(x-1)}^{4}}}$
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$-\frac{\left( -2 \right)\left( -3
\right)}{{{(x-1)}^{4}}}$
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$n=4$
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$\frac{\left( -2 \right)\cdot \left( -3
\right)\left( -4 \right)}{{{x}^{5}}}$
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$-\frac{\left( -2 \right)\left( -3
\right)\left( -4 \right)}{{{(x-1)}^{5}}}$
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$-\frac{\left( -2 \right)\left( -3
\right)\left( -4 \right)}{{{(x-1)}^{5}}}$
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$\cdots $
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$\cdots $
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$\cdots $
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$\cdots $
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$n=n$
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${{(-1)}^{n+1}}\frac{n!}{{{x}^{n+1}}}$
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${{(-1)}^{n+1}}\frac{n!}{{{(x-1)}^{n+1}}}$
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${{(-1)}^{n+1}}\frac{n!}{{{(x+1)}^{n+1}}}$
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Assim
${{f}^{(n)}}(x)={{(-1)}^{n+1}}\frac{n!}{{{x}^{n+1}}}+{{(-1)}^{n+1}}\frac{n!}{2{{(x-1)}^{n+1}}}-{{(-1)}^{n+1}}\frac{n!}{2{{(x+1)}^{n+1}}}$
(b) ${{x}^{5}}+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1=0$ tem raiz
${{x}_{1}}=-1$ e é pois divisível por $x+1$
$\frac{{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1}{x+1}={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1\,\,\,\,\Leftrightarrow
\,\,\,\,{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1=\left(
{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 \right)\left( x+1 \right)\,$
então, ${{x}^{2}}=\frac{-1\pm
\sqrt{3}\,i}{2}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\,i\,\,\,\,\,\,\Rightarrow
\,\,\,\,\,{{x}^{2}}=\operatorname{cis}\left( \pm \frac{2\pi }{3}
\right)={{e}^{\pm \frac{2\pi }{3}\,i}}$ e portanto
$x=\pm \,{{e}^{\pm \frac{\pi
}{3}\,i}}$
ou seja temos as 4 raízes
${{x}_{2}}={{e}^{\frac{\pi }{3}\,i}},\,\,\,\,{{x}_{3}}=-{{e}^{\frac{\pi
}{3}\,i}},\,\,\,{{x}_{4}}={{e}^{-\frac{\pi
}{3}\,i}}\,,\,\,\,{{x}_{5}}=-{{e}^{-\frac{\pi }{3}\,i}}$ além de
${{x}_{1}}=1$
NOTA: Podemos verificar rapidamente que o problema
está correctamente resolvido recorrendo ao Mathcad 15
1º método
2º método
