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Como pretendemos prestar um serviço de qualidade aqui vai uma ajuda para que possam aceder a esta rede wifi.
$I=\int{\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}\,{{(x-2)}^{3}}}}\,dx$
A função a integrar é uma fracção
racional própria uma vez que o grau do numerador, 3, é inferior ao grau do
denominador, 5.
Vamos decompô-la em fracções simples. As raízes do denominador são reais, uma dupla e outra tripla, assim:
Vamos decompô-la em fracções simples. As raízes do denominador são reais, uma dupla e outra tripla, assim:
$\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}\,{{(x-2)}^{3}}}=\frac{A}{{{x}^{2}}}+\frac{B}{x}+\frac{C}{{{(x-2)}^{3}}}+\frac{D}{{{(x-2)}^{2}}}+\frac{E}{x-2}$
Usando o método dos coeficientes de
Taylor para obter A e C fica
$A=\frac{1}{0!}{{\left[ \frac{{{x}^{3}}-1}{{{(x-2)}^{3}}}
\right]}_{x=0}}=\frac{1}{8}\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,C=\frac{1}{0!}{{\left[
\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}} \right]}_{x=2}}=\frac{7}{4}$
portanto
$\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}\,{{(x-2)}^{3}}}=\frac{1/8}{{{x}^{2}}}+\frac{B}{x}+\frac{7/4}{{{(x-2)}^{3}}}+\frac{D}{{{(x-2)}^{2}}}+\frac{E}{x-2}$
$\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}\,{{(x-2)}^{3}}}=\frac{1/8{{(x-2)}^{3}}}{{{x}^{2}}{{(x-2)}^{3}}}+\frac{Bx{{(x-2)}^{3}}}{{{x}^{2}}{{(x-2)}^{3}}}+\frac{7/4\,\,{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}{{(x-2)}^{3}}}+\frac{D{{x}^{2}}(x-2)}{{{x}^{2}}{{(x-2)}^{2}}}+\frac{E{{x}^{2}}{{(x-2)}^{2}}}{{{x}^{2}}{{(x-2)}^{3}}}$
${{x}^{3}}-1=\frac{1}{8}{{(x-2)}^{3}}+Bx{{(x-2)}^{3}}+\frac{7}{4}{{x}^{2}}+D{{x}^{2}}(x-2)+E{{x}^{2}}{{(x-2)}^{2}}$
${{x}^{3}}-1=\frac{1}{8}({{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+12x-8)+Bx({{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+12x-8)+\frac{7}{4}{{x}^{2}}+D{{x}^{2}}(x-2)+E{{x}^{2}}({{x}^{2}}-4x+4)$
Coeficiente
de ${{x}^{4}}$ : $B+E=0\,\,\,\,\,\,\,\,\to
\,\,\,\,\,\,\,E=-\frac{3}{16}$
Coeficiente
de ${{x}^{3}}$ : $\frac{1}{8}-6B+D-4E=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\to
\,\,\,\,\,\,\,D-4E=2\,\,\,\,\,\,\to \,\,\,\,\,\,D=\frac{5}{4}$
Coeficiente
de $x$ : $\frac{3}{2}-8B=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\to
\,\,\,\,\,\,B=\frac{3}{16}$
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\[I=\int{\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}\,{{(x-2)}^{3}}}}\,dx=\int{\left(
\frac{1}{8}\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{3}{16}\frac{1}{x}+\frac{7}{4}\frac{1}{{{(x-2)}^{3}}}+\frac{5}{4}\frac{1}{{{(x-2)}^{2}}}-\frac{3}{16}\frac{E}{x-2}
\right)\,\,dx}=\]
$=-\frac{1}{8x}+\frac{3}{16}\,\ln \left| \,x\,
\right|\,-\frac{7}{8{{(x-2)}^{2}}}-\frac{5}{4(x-2)}-\frac{3}{16}\ln \,\left|
\,x-2\, \right|+C,\,\,\,\,\,\,\,C\in \mathbb{R}$
portanto a password do Wifi é
constituída pelos algarismos 1, 5, 7 e 2
uma só vez, o 3 duas vezes e o caracter C. Como as somas são comutativas não podemos saber qual a ordem
pela qual estes algarismos aparecem e torna-se ainda necessário experimentar
várias combinações deles até chegar ao código correcto.
Questão: com os caracteres 1, 2, 3, 3, 5, 7 e C
quantos possíveis códigos vai ter de experimentar?
