Resposta à questão colocada pelo Domingos Consciência
Caro Domingos, se bem percebi a sua questão é a de
escrever as equações de rectas em coordenadas polares.
Pois bem, antes de vermos o caso geral, podemos ilustrar o problema com alguns casos particulares elucidativos.
Primeiro temos que ter em conta que em coordenadas polares
podemos escrever equações de segmentos de recta. Com efeito, se pensarmos no
segmento de recta com equações
catresianas $y=x\,\,\,\wedge \,\,\,x\ge 0$ é fácil concluir que a equação que
define este segmento de recta em coordenadas polares é $\theta =\frac{\pi }{4}$ (Figura 1).
De facto, o valor de r é arbitrário (positivo claro) e a única imposição encontra-se no ângulo que para qualquer ponto do segmento de recta é $\frac{\pi }{4}$.
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| Figura 1 |
De facto, o valor de r é arbitrário (positivo claro) e a única imposição encontra-se no ângulo que para qualquer ponto do segmento de recta é $\frac{\pi }{4}$.
Em geral, qualquer segmento com origem na origem das
coordenadas terá um ângulo polar constante e a sua equação é
$\theta ={{C}^{te}}$
Vejamos agora como descrever em coordenadas polares rectas
paralelas aos eixos.
Seja por exemplo a recta
$y=3$ (Figura 2).
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| Figura 2 |
Como se pode ver, ao longo da recta, nem r nem $\theta $ são constantes, isto é, para cada r temos um ângulo diferente, portanto r será uma função de $\theta $ , $r=r(\theta )$ e será esta relação a equação da recta em coordenadas polares.
Repare-se que no caso da recta $y=2$
temos sempre $r\,\operatorname{sen}\theta =2$ , isto é
$r=2\operatorname{cosec}\theta $
e é esta a equação da recta em coordenadas polares.
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| Figura 3 |
Quanto às rectas verticais, pode verificar-se na Figura 3 que para qualquer ponto da recta $x=3$ temos $3=r\cos \theta $ portanto a equação da recta $x=3$ será, em coordenadas polares
$r=3\sec \theta $
Considere-se agora uma recta qualquer, por exemplo $y=2x-1$. Como em coordenadas polares $x=r\cos
\theta \,\,\,\,\,\,\,\,\wedge \,\,\,\,\,\,\,y=r\operatorname{sen}\theta $ teremos
$r\operatorname{sen}\theta
=2r\cos \theta -1$
Em geral esta é a equação da recta em coordenadas polares.
Podemos no entanto arrumá-la um pouco
Se dividirmos ambos os membros por $r$ obtemos $\operatorname{sen}\theta =2\cos \theta
-\frac{1}{r}$ isto é
$r=\frac{1}{2\cos \theta
-\operatorname{sen}\theta }$
Passemos então ao caso do cálculo de integrais em domínios
triangulares ou rectangulares, em coordenadas polares.
Seja por exemplo o integral $\iint\limits_{D}{(x+1)\,dx\,dy}\,\,\,\,\,\wedge \,\,\,D=\left\{ (x,y)\in {{\mathbb{R}}^{2}}:\,\,0\le x\le 1\,\,\,\,\wedge \,\,\,\,\,0\le y\le \left. 2 \right\} \right.$
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| Figura 4 |
O domínio é o rectângulo da Figura 4.
Em coordenadas polares as rectas fronteira são
$\theta =\frac{\pi }{2}$ , $r\cos \theta =1$ , $r\operatorname{sen}\theta =2$ , $\theta =0$
É
fácil ver que à medida que o angulo $\theta $ varia desde zero até $\operatorname{arctg}2$,
$r$ varia desde zero até $\frac{1}{\cos \theta }=\sec \theta $. A
partir desse momento, à medida que $\theta $
varia de $\operatorname{arctg}2$ até $\frac{\pi }{2}$, $r$ varia desde zero até $\frac{2}{\operatorname{sen}\theta
}=\operatorname{cosec}\theta $, então, não esquecendo que $dx\,dy=r\,dr\,d\theta $, o integral
será
$\int\limits_{0}^{\operatorname{arctg}2}{d\theta
\int\limits_{0}^{\sec \theta }{(r\cos \theta
+1)\,r\,dr}}+\int\limits_{\operatorname{arctg}2}^{\pi /2}{d\theta
\int\limits_{0}^{2\operatorname{cosec}\theta }{(r\cos \theta +1)\,r\,dr}}$
É claro que este integral é mais complicado de calcular
que o equivalente em coordenadas cartesianas que são as “boas” coordenadas quando
os domínios têm fronteiras que não são arcos de circunferência.
