A propósito da Derivada de um Integral Definido fica aqui o esclarecimento usando a questão do Gabriel Sousa.
quarta-feira, 9 de agosto de 2017
terça-feira, 8 de agosto de 2017
Problemas de Mercearia
O Joaquim é o orgulhoso proprietário da nova mercearia do
bairro.
Depois da inauguração, imediatamente quatro clientes,
sequencialmente, pediram-lhe a metade dos ovos frescos que tinha em stock mais
meio ovo.
Solicitamente todos foram aviados e saíram felizes e
contentes com o ingrediente essencial para os seus bolos e gemadas.
Quem ficou preocupado foi o próprio merceeiro que verificou que
esgotara o seu aprovisionamento de ovos frescos.
Quantos ovos frescos tinha a mercearia do Joaquim no início?
______________________________________________________________________________
Resposta
Seja x o número de
ovos que existiam no início.
Depois de aviar o primeiro cliente o Joaquim ficou com
${{N}_{1}}=x-\left(
\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$ ovos
Depois de aviar o segundo cliente o número de ovos no
estabelecimento era
${{N}_{2}}={{N}_{1}}-\left(
\frac{1}{2}{{N}_{1}}+\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2}{{N}_{1}}-\frac{1}{2}$ ovos
Depois de satisfazer o terceiro cliente restavam na loja
${{N}_{3}}={{N}_{2}}-\left(
\frac{1}{2}{{N}_{2}}+\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2}{{N}_{2}}-\frac{1}{2}$ ovos
e no final
${{N}_{4}}={{N}_{3}}-\left(
\frac{1}{2}{{N}_{3}}+\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2}{{N}_{3}}-\frac{1}{2}=0$ ovos
Então temos
sucessivamente
$\frac{1}{2}{{N}_{3}}-\frac{1}{2}=0$
$\frac{1}{2}\left(
\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}{{N}_{1}}-\frac{1}{2} \right)-\frac{1}{2}
\right)-\frac{1}{2}=0$
$\frac{1}{2}\left(
\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}
\right)-\frac{1}{2} \right)-\frac{1}{2} \right)-\frac{1}{2}=0$
$\frac{1}{4}\left(
\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}x-\frac{1}{2} \right)-\frac{1}{2}
\right)-\frac{3}{4}=0$
$\frac{1}{8}\left(
\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} \right)-\frac{7}{8}=0$
$\frac{1}{16}x-\frac{15}{16}=0$
$x=15$ ovos
Em resposta ao Gabriel Sousa
Se $u=\pi -x$ então $x=\pi -u$ e ${x}'=-u$
Por outro lado $x=0\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,u=\pi $ e $x=\pi
\,\,\,\Rightarrow \,\,\,u=0$
O integral fica
$\int\limits_{0}^{\pi }{x\,f(\operatorname{sen}x)dx}=-\int\limits_{\pi
}^{0}{(\pi -u)\,f(\operatorname{sen}(\pi -u))\,du}$
mas $\operatorname{sen}(\pi
-u)=\operatorname{sen}u$ logo
$\int\limits_{0}^{\pi
}{x\,f(\operatorname{sen}x)dx}=\int\limits_{0}^{\pi }{(\pi
-u)\,f(\operatorname{sen}u)\,du}=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{f(\operatorname{sen}u)\,du}-\int\limits_{0}^{\pi
}{u\,f(\operatorname{sen}u)\,du}$
$\int\limits_{0}^{\pi }{x\,f(\operatorname{sen}x)dx}=\pi
\int\limits_{0}^{\pi }{f(\operatorname{sen}u)\,du}-\int\limits_{0}^{\pi
}{u\,f(\operatorname{sen}u)\,du}$
Como a variável de qualquer integral
é muda podemos escrever
$\int\limits_{0}^{\pi }{x\,f(\operatorname{sen}x)dx}=\pi
\int\limits_{0}^{\pi }{f(\operatorname{sen}x)\,dx}-\int\limits_{0}^{\pi
}{x\,f(\operatorname{sen}x)\,dx}$
$2\,\int\limits_{0}^{\pi }{x\,f(\operatorname{sen}x)dx}=\pi
\int\limits_{0}^{\pi }{f(\operatorname{sen}x)\,dx}$
$\int\limits_{0}^{\pi }{x\,f(\operatorname{sen}x)dx}=\frac{\pi
}{2}\int\limits_{0}^{\pi }{f(\operatorname{sen}x)\,dx}$ q. e. d.
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