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A fórmula de Euler (Latex)

A Fórmula de Euler   A Fórmula de Euler é uma das mais elegantes identidades da Análise Matemática. Deixamos aqui uma demonstraç...

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quarta-feira, 14 de junho de 2017

A fórmula de Euler (Latex)




A Fórmula de Euler
 
A Fórmula de Euler é uma das mais elegantes identidades da Análise Matemática.

Deixamos aqui uma demonstração analítica da fórmula geral e da fórmula particular ${{e}^{i\,\pi }}+1=0$.

Considere-se a função  $f(x)=(\cos x-i\operatorname{sen}x)\,{{e}^{i\,x}}$. 

A sua derivada é

${f}'(x)=(-\operatorname{sen}x-i\,\cos x)\,{{e}^{i\,x}}+(\cos x-i\operatorname{sen}x)\,i\,{{e}^{i\,x}}=$
$=\left( -\operatorname{sen}x-i\cos x+i\cos x+\operatorname{sen}x \right)\,{{e}^{i\,x}}=0$

ou seja,   ${{\forall }_{x\in \mathbb{R}}},\,\,\,{f}'(x)=0$.

Podemos então concluir que $f(x)$ é uma função constante,   $f(x)=C,\,\,\,\,\,\,C\in \mathbb{R}$.

Como  $f(0)=(\cos 0+i\operatorname{sen}0)\,{{e}^{0}}=1$ conclui-se imediatamente que

$f(x)=1,\,\,\,\,{{\forall }_{x\in \mathbb{R}}}$

portanto     $(\cos x-i\operatorname{sen}x)\,{{e}^{i\,x}}=1$  e    ${{e}^{i\,x}}=\frac{1}{\cos x-i\operatorname{sen}x}=\frac{\cos x+i\operatorname{sen}x}{{{\cos }^{2}}x+{{\operatorname{sen}}^{2}}x}=\cos x+i\operatorname{sen}x$ isto é

${{e}^{i\,x}}=\cos x+i\operatorname{sen}x$
que é a fórmula de Euler.

Em particular, se $x=\pi $ obtemos o caso particular ${{e}^{i\,\pi }}=-1$ ou  ${{e}^{i\,\pi }}+1=0$


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