A Fórmula de Euler
A Fórmula de Euler é
uma das mais elegantes identidades da Análise Matemática.
Deixamos aqui uma
demonstração analítica da fórmula geral e da fórmula particular ${{e}^{i\,\pi
}}+1=0$.
Considere-se a
função $f(x)=(\cos
x-i\operatorname{sen}x)\,{{e}^{i\,x}}$.
A sua derivada é
${f}'(x)=(-\operatorname{sen}x-i\,\cos
x)\,{{e}^{i\,x}}+(\cos x-i\operatorname{sen}x)\,i\,{{e}^{i\,x}}=$
$=\left( -\operatorname{sen}x-i\cos x+i\cos
x+\operatorname{sen}x \right)\,{{e}^{i\,x}}=0$
ou seja, ${{\forall }_{x\in
\mathbb{R}}},\,\,\,{f}'(x)=0$.
Podemos então concluir
que $f(x)$ é uma função constante, $f(x)=C,\,\,\,\,\,\,C\in
\mathbb{R}$.
Como $f(0)=(\cos
0+i\operatorname{sen}0)\,{{e}^{0}}=1$ conclui-se imediatamente que
$f(x)=1,\,\,\,\,{{\forall }_{x\in \mathbb{R}}}$
portanto $(\cos
x-i\operatorname{sen}x)\,{{e}^{i\,x}}=1$ e ${{e}^{i\,x}}=\frac{1}{\cos
x-i\operatorname{sen}x}=\frac{\cos x+i\operatorname{sen}x}{{{\cos
}^{2}}x+{{\operatorname{sen}}^{2}}x}=\cos x+i\operatorname{sen}x$ isto é
${{e}^{i\,x}}=\cos x+i\operatorname{sen}x$
que é a fórmula de Euler.
Em particular, se $x=\pi $ obtemos o caso particular ${{e}^{i\,\pi
}}=-1$ ou ${{e}^{i\,\pi }}+1=0$