Cálculo do seguinte Limite
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim
}}\,\,\,\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{x}^{2}}}$
Parece ser um problema intrincado de
resolver, e é um exemplo de como tudo se torna fácil se recorrermos a
conhecimentos que não são ensinados no ensino secundário.
Vamos apresentar duas maneiras
simples de obter o resultado, uma recorrendo à regra de Cauchy, outra
recorrendo à série de potências de ${{e}^{x}}$.
Não conseguimos resolver este limite
recorrendo a artifícios algébricos idênticos aos conhecidos no ensino
secundário (desde já agradecemos a quem encontre outras formas de calcular este
limite que aqui as apresente).
1. Regra de Cauchy
A regra de Cauchy adaptada e
este limite em particular pode ser enunciada da seguinte maneira
Se $\underset{x\to
{{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$ e $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim
}}\,g(x)=0$ então $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim
}}\,\,\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim
}}\,\,\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$
Como $\underset{x\to
0}{\mathop{\lim }}\,\,\left( {{e}^{x}}-x-1 \right)=0\,\,\,\,\wedge
\,\,\,\,\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,{{x}^{2}}=0$ fica
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim
}}\,\,\,\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim
}}\,\,\frac{{{e}^{x}}-1}{2x}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim
}}\,\,\frac{{{e}^{x}}-1}{x}$
Obtemos de novo uma
indeterminação uma vez que $\underset{x\to
0}{\mathop{\lim }}\,\,\left( {{e}^{x}}-1 \right)=0\,\,\,\,\wedge
\,\,\,\,\,\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,x=0$, estamos de novo nas
condições em que podemos aplicar a regra de Cauchy e obtemos
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim
}}\,\,\,\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{2}\underset{x\to
0}{\mathop{\lim }}\,\,\,{{e}^{x}}=\frac{1}{2}$
2) Série de ${{e}^{x}}$
É conhecido da análise que a
função exponencial se pode desenvolver em série de Taylor em torno da origem (Série
de MacLaurin) e
${{e}^{x}}=1+x+\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{3}}}{3!}+\,\,\cdots
\,\,+\,\,\frac{{{x}^{n}}}{n!}+\,\,\cdots =\sum\limits_{n=0}^{\infty
}{\frac{{{x}^{n}}}{n!}}$
então o limite é
$\underset{x\to
0}{\mathop{\lim }}\,\,\,\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to
0}{\mathop{\lim
}}\,\frac{1+x+\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{3}}}{3!}+\,\,\cdots
\,\,+\,\,\frac{{{x}^{n}}}{n!}+\,\,\cdots -x-1}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to
0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{3}}}{3!}+\,\,\cdots
\,\,+\,\,\frac{{{x}^{n}}}{n!}+\,\,\cdots }{{{x}^{2}}}=$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\left(
\frac{1}{2}+\frac{x}{3!}+\frac{{{x}^{2}}}{4!}+\cdots \,\,
\right)=\frac{1}{2}+\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left(
\frac{x}{3!}+\frac{{{x}^{2}}}{4!}+\cdots \, \right)$
Todas as parcelas do limite
tendem para zero, portanto
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim
}}\,\,\,\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{2}$
