Pretende-se mostrar que (ou que não) o seguinte
Se $f(x)$ é de classe C2 e $f(a)=f(b)=0$ então $\int\limits_{a}^{b}{(x-a)(x-b){f}''(x)dx}=2\,\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}$.
A tentativa mais directa será tentar integrar o primeiro
integral por partes.
Se $u=(x-a)(x-b)$
então ${u}'=(x-b)+(x-a)$
${v}'={f}''(x)$ então $v={f}'(x)$
E ficamos com
$\int\limits_{a}^{b}{(x-a)(x-b){f}''(x)dx}=\left[
(x-a)(x-b){f}'(x) \right]_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{\left( 2x-a-b
\right){f}'(x)dx}=-\int\limits_{a}^{b}{\left( 2x-a-b \right){f}'(x)dx}$
Tornando a integrar por partes: $u=2x-a-b$ então
${u}'=2$
${v}'={f}'(x)$
então $v=f(x)$
e obtemos:
$\int\limits_{a}^{b}{(x-a)(x-b){f}''(x)dx}=-\left[
\left( (2x-a-b)f(x) \right)_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{2f(x)dx}
\right]=2\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}$
