Resposta à questão da Geórgia Brito
Trata-se
de uma aplicação directa do conceito de diferencial de uma função.
Se $f({{x}_{1}},\,...\,,\,{{x}_{n}})\,:\,\,{{\mathbb{R}}^{n}}\,\to
\,\mathbb{R}$ temos
$df\,=\,\sum\limits_{i=1}^{n}{\,\frac{\partial
\,f}{\partial \,{{x}_{i}}}\,d{{x}_{i}}}$
Seja então $f({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})=f(x,y,z)=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$
, então
$df\,=\,\frac{\partial f}{\partial
x}\,dx+\,\frac{\partial f}{\partial y}\,dy+\,\frac{\partial f}{\partial
z}\,dz\,=\,\frac{x\,dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}}+\frac{y\,dy}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}}+\frac{z\,dz}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}}=$
$=\frac{x\,dx}{f(x,y,z)}+\frac{y\,dy}{f(x,y,z)}+\frac{z\,dz}{f(x,y,z)}$
Os diferenciais $dx,\,\,dy$ e $dz$ são infinitésimos, e o
valor da função num ponto $P({{x}_{0}}+dx,{{y}_{0}}+dy,{{z}_{0}}+dz)$ é
$f({{x}_{0}}+dx,{{y}_{0}}+dy,{{z}_{0}}+dz)=f({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}})+{{\left(
d\,f \right)}_{({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}})}}$
Se usarmos variações finitas das variáveis, $\Delta x,\,\,\Delta y,\,\,\Delta z$ podemos
calcular aproximadamente este valor, e a aproximação será tanto melhor quanto
mais pequenos forem os módulos das variações finitas e teremos
$f({{x}_{0}}+\Delta x,{{y}_{0}}+\Delta
y,{{z}_{0}}+\Delta z)\approx f({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}})+\sum\limits_{i=1}^{3}{\,{{\left(
\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}} \right)}_{P}}\,\Delta {{x}_{i}}}$
Fazemos então $0,01=0+0,01\,\,\,;\,\,\,\,\,3,98=4-0,02\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,2,99=3-0,01$
e obtemos
$f({{x}_{0}}+\Delta
x,{{y}_{0}}+\Delta y,{{z}_{0}}+\Delta z)=f(0+0,01\,;\,\,4-0,02\,\,;\,\,3-0,01)\approx
$
$\approx
f(0,4,3)+{{\left( \frac{x\,}{f(x,y,z)} \right)}_{(0,4,3)}}\Delta x+{{\left(
\frac{y\,}{f(x,y,z)} \right)}_{(0,4,3)}}\Delta y+{{\left( \frac{z\,}{f(x,y,z)}
\right)}_{(0,4,3)}}\Delta z=$
$=\sqrt{0+16+9}\,+\,0\cdot
0,01+\frac{4}{\sqrt{0+16+9}}\,(-0,02)+\frac{3}{\sqrt{0+16+9}}\,(-0,01)=\frac{2489}{500}=4,978$
