Resposta à pergunta do Gabriel
Se $\left|
\,\vec{u}\, \right|=8$ e $\left|
\,\vec{v}\, \right|=5$ e o ângulo entre eles é $60{}^\text{o}$ determine
$\left| \,\vec{u}+\vec{v}\, \right|$.
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Primeiro
devemos ter em conta que os vectores são livres, podemos pois colocar um deles em
qualquer posição e o outro formando um angulo de $60{}^\text{o}$ com o
primeiro.
Arbitramos então que $\vec{u}=(\,8,\,0,\,\,\cdots ,0\,)$ e $\vec{v}=(\,{{v}_{1}},\,{{v}_{2}},\,\cdots \,,\,{{v}_{n}}\,)$.
Arbitramos então que $\vec{u}=(\,8,\,0,\,\,\cdots ,0\,)$ e $\vec{v}=(\,{{v}_{1}},\,{{v}_{2}},\,\cdots \,,\,{{v}_{n}}\,)$.
Devemos
agora impor que $\vec{u}\cdot
\vec{v}=8\,{{v}_{1}}=\left| \,\vec{u}\, \right|\,\left| \,\vec{v}\,
\right|\,\cos 60{}^\text{o}=20$ ou
seja ${{v}_{1}}=\frac{5}{2}$ para que o angulo entre os vectores seja o
desejado.
Temos
ainda que impor que $\left| \,\vec{v}\,
\right|=\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots \text{+v}_{n}^{2}}=5$ isto é ${{v}_{n}}=\sqrt{25-v_{1}^{2}-v_{2}^{2}-\cdots
-v_{n-1}^{2}}$ ou seja, o vector $\vec{v}$ terá a forma
$\vec{v}=\,\left(
\,{{v}_{1}},\,\,{{v}_{2}},\,\,\cdots
\,\,,\,\,{{v}_{n-1}},\,\,\sqrt{25-v_{1}^{2}-v_{2}^{2}-\cdots -v_{n-1}^{2}}\,
\right)\,$
Assim,
$\vec{u}+\vec{v}=\,\left(
\,8+{{v}_{1}}\,,\,{{v}_{2}},\,\,\cdots
\,,\,\,\sqrt{25-v_{1}^{2}-v_{2}^{2}-\cdots -v_{n-1}^{2}}\, \right)$
e
\[{{\left|
\,\vec{u}+\vec{v}\,
\right|}^{2}}=\,{{(\,8+{{v}_{1}}\,)}^{2}}+v_{2}^{2}+\,\cdots
\,+\,v_{n-1}^{2}+25-v_{1}^{2}-v_{2}^{2}-\cdots -v_{n-1}^{2}\,\,=\]
\[=64+16{{v}_{1}}+v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots
+v_{n-1}^{2}+25-v_{1}^{2}-v_{2}^{2}-\cdots -v_{n-1}^{2}=\]
$=\,\,89+16{{v}_{1}}$
E como já vimos que ${{v}_{1}}=\frac{5}{2}$ fica
${{\left| \,\vec{u}+\vec{v}\,
\right|}^{2}}=\,89+16\,\,\frac{5}{2}=89-40=129$
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$\left| \,\vec{u}+\vec{v}\,
\right|=\,\sqrt{129}$
