Determine a equação da recta que contém o ponto M(1,2) e que
forma com os eixos coordenados, no primeiro quadrante, um triângulo de área
mínima.
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Se bem compreendemos a questão, o triângulo terá de ter por
lados os eixos oX e oY, e a recta que passa por M.
Podemos imediatamente
concluir que o declive da recta é $m<0$
(Figura 1).
A família de rectas que passa em M tem equações
$y-2=m(x-1)$ ou $y=mx-m+2$
A intersecção destas restas com os
eixos são:
Com
o eixo oX: $y=0,\,\,\,\,\,x=\frac{m-2}{m}=1-\frac{2}{m}$
Com
o eixo oY: $x=0,\,\,\,\,y=2-m$
 |
| Figura 1 |
então a área do triângulo é
$A(m)=\frac{1}{2}(2-m)\left(
1-\frac{2}{m} \right)=\frac{1}{2}\left( 2-\frac{4}{m}-m+2
\right)=2-\frac{2}{m}-\frac{m}{2}$
a derivada desta função é
$\frac{dA}{dm}=-\frac{1}{2}+\frac{2}{{{m}^{2}}}$
e temos extremos se
$\frac{dA}{dm}=-\frac{1}{2}+\frac{2}{{{m}^{2}}}=0$
$\frac{2}{{{m}^{2}}}=\frac{1}{2}$
$m=\pm 2\,\,\,\,\,\,\to \,\,\,\,\,m=-2$
Como ${{\left(
\,\frac{{{\partial }^{2}}A}{\partial {{m}^{2}}} \right)}_{m=-2}}={{\left(
-\frac{4}{{{m}^{3}}} \right)}_{m=-2}}=\frac{1}{2}>0$ trata-se de facto de um mínimo e a recta é
então
$y=-2x+4$
