Matemática 10º Ano
Raízes de um polinómio
No 10º ano os alunos são “informados” de que,
se um polinómio de grau n tem pelo
menos uma raiz inteira real então essa raiz será um divisor do termo
independente, isto é
se o
polinómio $p(x)={{a}_{n}}\,{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\,\,\,\cdots
\,\,+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$ admite a raiz r,
então r é um divisor de ${{a}_{0}}$
Vamos aqui ver porque
razão é isto verdade.
Consideremos então o
polinómio
$p(x)={{a}_{n}}\,{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\,\,\,\cdots
\,\,+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{a}_{k}}\,{{x}^{k}}}$
e seja $r$ raiz de $p(x)$,
então
$p(r)=0$
ou seja ${{a}_{n}}\,{{r}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{r}^{n-1}}+\,\,\,\cdots
\,\,+{{a}_{2}}{{r}^{2}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{0}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{a}_{k}}\,{{r}^{k}}}=0$
podemos então escrever
${{a}_{n}}\,{{r}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{r}^{n-1}}+\,\,\,\cdots
\,\,+{{a}_{2}}{{r}^{2}}+{{a}_{1}}r=-{{a}_{0}}$ ou
$\sum\limits_{k=1}^{n}{{{a}_{k}}\,{{r}^{k}}}=-{{a}_{0}}$
Pondo agora em
evidencia r no primeiro membro fica
$r({{a}_{n}}\,{{r}^{n-1}}+{{a}_{n-1}}{{r}^{n-2}}+\,\,\,\cdots
\,\,+{{a}_{2}}r+{{a}_{1}})=-{{a}_{0}}$
ou $r\,\sum\limits_{k=1}^{n}{{{a}_{k}}\,{{r}^{k-1}}}=-{{a}_{0}}$
e
${{a}_{n}}\,{{r}^{n-1}}+{{a}_{n-1}}{{r}^{n-2}}+\,\,\,\cdots
\,\,+{{a}_{2}}r+{{a}_{1}}=-\frac{{{a}_{0}}}{r}$ ou $\sum\limits_{k=1}^{n}{{{a}_{k}}\,{{r}^{k-1}}}=-\frac{{{a}_{0}}}{r}$
O polinómio do lado
esquerdo tem coeficientes inteiros e r é
um inteiro, portanto trata-se de um número inteiro, chamemos-lhe $Int$, temos então que
$Int=-\frac{{{a}_{0}}}{r}$
isto significa que $\frac{{{a}_{0}}}{r}$
terá de ser também um número inteiro e portanto r é divisor de ${{a}_{0}}$.
Exemplo: Como resolver a equação ${{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+21x-18=0$ ?
Suponhamos que o
polinómio ${{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+21x-18$ admite pelo menos
uma raiz real, então essa raiz será um divisor do termo independente ${{a}_{0}}=-18$.
Como vimos acima podemos utilizar apenas o valor 18 uma vez
que se $r$ divide ${{a}_{0}}$ e dá resto
zero também divide $-{{a}_{0}}$ e dá resto zero.
Os divisores de 18 são
1, 2, 3, 6, 9 e 18 portanto um dos valores $\pm 1,\,\,\pm 2,\,\,\pm 3,\,\,\pm 6,\,\,\pm
9$ e $\pm 18$ deve ser raiz do polinómio, podemos então experimentá-los:
$p(1)\ne 0,\,\,\,\,p(-1)\ne
0,\,\,\,\,p(2)=0$
se $p(2)=0$ uma raiz
real do polinómio é 2, e o polinómio é
divisível por $x-2$.
Podemos então efectuar a divisão
e temos
${{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+21x-18=(x-2)({{x}^{2}}-6x+9)=(x-2){{(x-3)}^{2}}=0$
Usando a lei do anulamento do produto concluímos que as
soluções da equação são 2 e 3.
