O conjunto $M=\left\{ (x,y,z,t)\in
{{\mathbb{R}}^{4}}:\,\,x+y=0\,\,\wedge \,\,z-t=0 \right\}$ é subespaço
vectorial de ${{\mathbb{R}}^{4}}$ em relação à adição e à multiplicação por um
escalar usuais?
Definição
Diz-se que $M\subseteq
{{\mathbb{R}}^{4}}$ é um subespaço vectorial de ${{\mathbb{R}}^{4}}$ sobre um
corpo K se M é um espaço vectorial sobre K
e se:
a) $M\ne \varnothing $
b) $X\in M\,\wedge \,Y\in
M\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,X+Y\in M$
c)
$a\in K\,\,\wedge \,\,\,X\in
M\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,a\,X\in M$
Repare-se que
i) não é necessário verificar todas
as propriedades de um espaço vectorial já que estas são herdadas de ${{\mathbb{R}}^{4}}$,
ii)
as condições a) e b) podem reescrever-se numa só
$X\in M\,\wedge \,Y\in M\,\,\wedge \,\,a\in
K\,\,\wedge \,\,b\in K\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,aX+bY\in M$
Então para que M seja subespaço não pode ser vazio, o que é verdade já que $(0,0,0,0)\in
M$.
De seguida vamos verificar se para
qualquer $X$ e $Y$ pertencentes ao
conjunto, $X+Y$ também pertence ao conjunto
e para qualquer escalar a, $aX$ também pertence ao conjunto.
Um ponto genérico de M tem a forma $(x,-x,y,y)$ portanto
$({{x}_{1}},-{{x}_{1}},{{y}_{1}},{{y}_{1}})$ e $({{x}_{2}},-{{x}_{2}},{{y}_{2}},{{y}_{2}})$
pertencem a M
Então
$({{x}_{1}},-{{x}_{1}},{{y}_{1}},{{y}_{1}})+({{x}_{2}},-{{x}_{2}},{{y}_{2}},{{y}_{2}})=({{x}_{1}}+{{x}_{2}},\,-({{x}_{1}}+{{x}_{2}}),\,{{y}_{1}}+{{y}_{2}},{{y}_{1}}+{{y}_{2}})$
e este vector tem a forma $(\alpha ,\,-\alpha ,\,\beta ,\,\beta )$ logo
pertence a M.
Por outro lado
$a(x,-x,y,y)=(ax,-ax,ay,ay)$
e este vector também tem a
forma $(\alpha ,\,-\alpha ,\,\beta
,\,\beta )$ logo pertence a M.
Portanto M é um subespaço vectorial.
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