Como resolver equações de grau inferior ou igual a 2
1. Equações de grau 1
Chama-se equação de grau 1, ou equação de primeiro grau ou
equação linear se esta tem a forma
${{P}_{1}}(x)=0$
onde ${{P}_{1}}(x)$é um polinómio de grau 1.
Uma equação deste tipo resolve-se utilizando os seguintes
três princípios de equivalência
a) Se numa equação
substituirmos um dos seus membros por uma expressão equivalente obtemos uma
equação semelhante à primeira.
EXEMPLO 1.1: Seja a equação $x=2+3$. Como $2+3=5$ se substituirmos na equação original $2+3$
por 5 obtemos uma equação equivalente que é:
$x=5$.
EXEMPLO 1.2: Seja a equação $x+2x=6$. Como $x+2x=3x$, a equação $3x=6$ é equivalente à equação original.
b) Se numa equação
somarmos em ambos os membros a mesma constante real obtemos uma equação
semelhante à primeira.
EXEMPLO 2.1: Seja a equação $x-3=2$.
A equação $x-3+3=2+3$ é equivalente à primeira, e usando agora o
princípio de equivalência 1 teremos que $x=5$ é equivalente à primeira equação.
c) Se numa equação
multiplicarmos ou dividirmos ambos os seus membros por uma mesma constante real
não nula obtemos uma equação equivalente à primeira.
EXEMPLO 3.1: Seja a equação $3x=4$, então $\frac{1}{3}\,\times \,3x=\frac{1}{3}\times
4$ e
$x=\frac{4}{3}$.
É usual, pelo menos no ensino em Portugal, não apresentar
estes princípios de equivalência entre equações e memorizar uma série de regras
para a resolução de equações que os estudantes aplicam sem ter a noção do que
estão a fazer, regras do tipo “se deste
lado está a somar passa para o outro lado a subtrair”. Este tipo de mecanização
sem se saber o como e o porquê é na nossa opinião a pior forma possível de
apresentar o assunto ao estudante principiante.
De facto não há “coisas” a passar de um lado para o outro
numa equação, há tão somente a aplicação dos três princípios de equivalência
apresentados acima.
Exercício: Resolva a equação $\frac{x+1}{3}-2=2x+1$
Comecemos por somar em ambos os membros $2$, fica então
$\frac{x+1}{3}-2=2x+1\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{x+1}{3}-2+2=2x+1+2\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow
\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{x+1}{3}=2x+3$
Podemos agora multiplicar ambos os membros por 3 e teremos
$3\,\,\,\frac{x+1}{3}=3(2x+3)\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow
\,\,\,\,\,x+1=6x+9$
Agora podemos subtrair $x$ em ambos
os membros:
$x+1-x=6x+9-x\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow
\,\,\,\,\,x-x+1=6x-x+9\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,1=5x+9$
Subtraindo agora 9 em ambos os
membros e de seguida multiplicando ambos os membros por $\frac{1}{5}$ temos
$1=5x+9\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow
\,\,\,\,\,\,1-9=5x+9-9\,\,\,\,\,\Leftrightarrow
\,\,\,\,\,-8=5x\,\,\,\,\,\Leftrightarrow
\,\,\,\,\,\,\frac{1}{5}\,(-8)=\frac{1}{5}\,5x\,\,\,\,\Leftrightarrow
\,\,\,-\frac{8}{5}=x$
e a equação está resolvida.
NOTA: repare-se no seguinte:
na
equação $x+9=3$ se subtrairmos 9 em ambos os membros fica
$x=3\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow
\,\,\,\,\,x+9-9=3-9\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x=3\,\,$
daí a tal
confusão do “passa para aqui e passa para
ali trocando o sinal” pois aparentemente
o 9 passou do primeiro para o segundo membro
onde apareceu $-9$, no entanto o estudante
deve ter bem presente que não há de facto “coisas” a passar de uns lados
para os outros, há apenas os três princípios de equivalência apresentados.
Um erro frequente quando não se aplicam os
princípios de equivalência e apenas se tem em conta a regra do “passa para aqui – passa para ali” é o
seguinte:
$2x=3$
como o 2 tem sinal + passa para o
outro lado trocando o sinal e obtém-se
$x=3-2=1$
que é, evidentemente, um disparate.
2.
Equação de grau 2
Chama-se equação de grau 2, ou equação do segundo grau se esta tem a forma
${{P}_{2}}(x)=0$
onde ${{P}_{2}}(x)$é um polinómio de grau 2.
O caso da equação do segundo grau é também paradigmático da
forma como actualmente se apresenta este assunto ao estudante principiante. Não
se explica, apenas se diz qualquer coisa do tipo: quando vires “isto” (uma equação de segundo
grau) fazes “assim” (fórmula resolvente)
e não perguntes como nem porquê, limita-te a seguir a receita.
Esta forma de abordar a questão é a melhor forma de tornar o
estudante desinteressado e parece ser o objectivo do ensino da matemática nos
últimos anos.
Torna-se imperioso inverter este estado da arte e voltar a
chamar os estudantes para o prazer se “aprender”.
Vamos então “ver” porque é que as “coisas” são como são. É
claro que a explicação neste caso torna-se mais extensa que apenas “dar uma
ordem”, tal como não é possível simplificar por exemplo as corridas de cavalos
tirando os cavalos, também não é possível simplificar a matemática tirando-lhe
a matemática.
Pois bem, a resolução de uma equação do 2º grau do tipo
$a{{x}^{2}}+bx+c=0,\,\,\,\,\,a\ne
0$
tem por base os bem conhecidos casos: quadrado de uma soma e soma de quadrados.
Quadrado de uma soma ${{(a\pm
b)}^{2}}={{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}$
Diferença de quadrados ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=(a-b)(a+b)$
Vamos então ver passo a passo como resolver a equação $a{{x}^{2}}+bx+c=0,\,\,\,\,\,a\ne
0$
Comecemos por pôr em evidencia a constante $a\ne 0$:
$a\left( {{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right)=0$
como a não é zero terá de ser
${{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$
agora vamos completar o quadrado
perfeito ${{x}^{2}}+\frac{b}{a}\,x\,+\,$
.
Se temos em geral
${{x}^{2}}\pm Mx+$ (coeficiente
de ${{x}^{2}}$ é 1)
o termo a acrescentar é sempre ${{\left( \frac{M}{2} \right)}^{2}}$, no nosso
caso o termo a acrescentar será ${{\left(
\frac{1}{2}\,\frac{b}{a} \right)}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}}{4{{a}^{2}}}$, então
${{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+\underbrace{\frac{{{b}^{2}}}{4{{a}^{2}}}-\frac{{{b}^{2}}}{4{{a}^{2}}}}_{=0}+\frac{c}{a}=0$
${{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}-\left( \frac{{{b}^{2}}}{4{{a}^{2}}}-\frac{c}{a}
\right)=0$
${{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}-\left(
\frac{{{b}^{2}}}{4{{a}^{2}}}-\frac{4ac}{4{{a}^{2}}} \right)=0$
${{\left( x+\frac{b}{2a}
\right)}^{2}}-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4{{a}^{2}}}=0$
${{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}-{{\sqrt{\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4{{a}^{2}}}}}^{\,\,2}}=0$
${{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}-{{\left(
\frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a} \right)}^{2}}=0$
e nesta altura temos uma diferença
de quadrados, portanto podemos escrever
$\left( x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a} \right)\left(
x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a} \right)=0$
e da lei do anulamento do produto
temos
$x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}=0\,\,\,\,\,\,\,\vee
\,\,\,\,\,\,\,x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}=0$
ou seja
$x=\frac{-b+\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}\,\,\,\,\,\,\,\vee
\,\,\,\,\,\,\,\,x=\frac{-b+\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$
que se abrevia para
$x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}\,$
que é a conhecida fórmula resolvente.
Como se pode verificar não há qualquer necessidade de
utilizar esta fórmula, ela apenas serve para atalhar os cálculos que não são
assim tão complicados.
EXEMPLO: resolver a equação $2{{x}^{2}}-x-1=0$.
$2\left(
{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} \right)=0$
${{x}^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=0$
para completar o quadrado perfeito
devemos acrescentar ${{\left(
\frac{1}{2}\,\,\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{16}$ e fica
${{x}^{2}}-\frac{1}{2}x+\underbrace{\frac{1}{16}-\frac{1}{16}}_{=0}-\frac{1}{2}=0$
${{\left( x-\frac{1}{4} \right)}^{2}}-\frac{9}{16}=0$
${{\left( x-\frac{1}{4} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{3}{4}
\right)}^{2}}=0$
e temos assim uma diferença de
quadrados, portanto
$\left( x-\frac{1}{4}-\frac{3}{4} \right)\left( x-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}
\right)=0$
\[x-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vee
\,\,\,\,\,\,\,\,x-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=0\]
\[x-1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vee \,\,\,\,\,\,\,\,x+\frac{1}{2}=0\]
\[x=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vee \,\,\,\,\,\,\,\,x=-\frac{1}{2}\]
que são as duas soluções da equação.
